【高考数学】专题3 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题（教师版）.doc

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1、专题一压轴选择题第三关以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于，，的不等式，再根据，，的关系消掉得到关于，的不等式，由这个不等式确定，的关系．2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然

2、后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数

3、的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．常见的几何方法有：（1）直线外一定点到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；（2）圆外一定点到圆上各点距离的最大值为，最小值为(为圆半径)；（3）过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上

4、的点中顶点与抛物线的准线距离最近．常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一求圆锥曲线的离心率问题典例1．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B典例2．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与

5、轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】易证得，则，即；同理，，所以，又，所以，整理，得，故选A．【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥

6、曲线方程和本身范围来确定．【举一反三】过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C.D．【答案】D类型二与圆锥曲线有关的最值问题典例2．等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，，△的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C[【解析】因为等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，所以，可设，得，将代入，得，抛物线的方程为，所以，设，则，设，则，时，“”成立.故选C.【名师指点】抛物线定义是转化抛物线上的点到焦点距离和

7、到准线距离的桥梁，通过设点的坐标并结合抛物线定义，将待求对象坐标化，同时结合抛物线方程消元，利用函数思想求解最值问题是常见的求最值方法，有时还可以几何平面几何知识求解．【举一反三】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B类型三平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例3．设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C.D．【答案】D【解析】设，∵四

8、边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴.故选D.【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于的方程，进而确定离心率的值．【举一反三】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分