【高考数学】专题2 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题（教师版）.doc

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1、专题一压轴选择题第二关以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一四面体的外接球问题典例1．点均在同一球面上，且、、两两垂直，且，则该球的表面积为A．B．C．D．【答案】B【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方

2、体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径，分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A类型二三棱柱的外接球问题典例2．三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C.D．【答案】C【解析】如图，由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，.∴该球的表面积为.选C.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体

3、各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点距离相等的点在过的外心且垂直于平面的直线上，再确定到顶点距离相等的点过的外心且垂直于平面的直线上，故直三棱柱的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是．【答案】【解析】试题分析：因为该三棱柱为正三棱柱，所以底面为正三角形，底面三角形外接圆的直径为，即，所以该三棱柱外接球的半径，所以该三棱柱外接球的表面积为.类型三四棱锥的外接球问题典例3．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C.D．【答案】D【

4、名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．【举一反三】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】设球的半径为，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴，∴,∴球的体积为.故应选A.类型四

5、几何体的内切球问题典例4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【答案】3π【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，∴V＝×π×3×3＝3π.[【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化

6、的目的．【举一反三】将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（）A．1B．C.D．【答案】D【解析】设球心为，球的半径为，由，知，故选D.【精选名校模拟】1.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（）[A．B．C.D．【答案】B【解析】如下图所示，由题意可知，又球的直径是，所以且，所以该几何体的体积为，故选B.2．已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D3.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．

7、C.D．【答案】A【解析】试题分析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为，则球的半径为，所以所求体积比为，故选A．4．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为是平行四边形，所以，因为是直二面角，所以平面，即，那么，即取中点，连接，都是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以，所以三棱锥的外接球的球心为点，半径，所以表面积是．[5．已知点