数学：《以球为背景的几何问题》学案

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1、以球为背景的几何问题551100贵州省息烽县第一中学舒飞跃高中数学引入向量,它使用推理来完成的立体几何问题通过向量的运算实现证明和计算。随着高考对这部内容深入研究，解题的方法上越来越具有模式化。这与立体几何所需要的培养学生空间想象能力不相符。通过对全国各地的高考数学试题的研究，发现“球”是考查学生空间想象能力很好的素材，以球为背景的几何问题重在对学生空间想象能力的考查。笔者以高考中涉及球的问题谈一谈，供参考。一、以球的基本性质为背景，挖掘球的内部联系，展示球的内在美。考查学生对基础知识的掌握运用能力。例1．（高考全国Ⅱ第12题）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆

2、的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()分析:从题中可知两截面圆A、圆B相互垂直,由截面圆的性质可知,四边形OACB为矩形,则求两圆的圆心距AB的长度,就是求OD的长度,两圆的公共弦长为2,得CD长度为1,OD为球的半径长度为2,所以CO=.故选(C).例2.(四川第8题)设M、N是球O半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积这比为（）（A）3:5:6(B)3:6:8(C)5:7:9(D)5:8:9分析:直接利用球的截面面的性质,求出截面圆的半径,三个圆的面积之比等于对应的半径的平方比.设球的半径为3,容易得选(D)点评:此类

3、题解法的虽然没有多大的技巧性,计算也不复杂,但要对球的截面圆的空间关系明朗才能完成,这是解决此题的关键所在.二、以多面体与球的组合体为背景，挖掘球的外部联系，展示球的与其它几何体的整合魅力。考查学生分析问题和解决问题的能力。例3．（浙江省14）如图（2），已知球O的面上四点A、B、C、D,DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于。分析：从题目的条件，可以将图（2）补形成图（3），图（2）的四面体放在正方体图（3）中，球O的直径就是正方体体对角线CD的长度为3，所以球的体积为.点评:本题在于掌握正方体中几何体的特征,大胆联想,进行补形成正方体使问题得到解决.若DA,AB

4、,BC不全等时,补形得到的就是长方体.事实上,此题的补形方法还有福建省第15题、安徽省第16题。往年高题就不在这里指出了。在教学中,要有意识让学生去认识球的内接长方体、正方体的切割几何体的认识.提高学生的空间想象能力.例4．（重庆第9题）如图（4）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（A）V1=(B)V2=（C）V1>V2（D）V1

5、小球体积和为，由题意知，，，==>0,所以.故选(D)点评:本题可看成是球与旋转体的组合体,这种题的突破口在于找到共有轴截面,利用球的半径和旋转体的关系,再利用实现它们关系的处理.三、以轨迹球为背景，开创一片新天地，考查学生的创新能力。例5．（江西第10题）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N③MN的最大值为5④MN的最小什为1其中真命题的个数为（）（A）1个（Ｂ）　２个　　　　　　　(C)3个(D)4个分析：设半径为

6、４的球心为O,以ＯＭ为半径可作一个球，以ＯＮ为半径作一个球，这样得到三个同心球。球Ｏ的两条弦ＡＢ、ＣＤ可看成是半径为ＯＭ、ＯＮ的球的切线且Ｍ、Ｎ分别为切点。如图（５），ＭＢ＝，ＯＢ＝４，所以ＯＭ＝３；同理可知，ＯＮ＝２。当的方向相反时，ＭＮ取得最大值为５。当的方向相同时，ＭＮ取得最小值为１。从图形上看弦ＡＢ、ＣＤ只可能相交于点Ｍ。所以选（Ｃ）。点评:本题利用空间点的轨迹构建两个同心球切线问题得到解决.从的各省高考题可以看出,命题专家有意考查学生的空间想象能力,而向量的引入给学生做立体几何证明、计算可以用计算来完成，学生的空间想象能力有所下降。空间想象能力的考查球是很好的素材。教学时教师要加

7、强球与其它几何体的组合体认识，增强学生空间想象能力，全面提高学生分析问题和解决问题的能力。