正规子群与商群ppt课件.ppt

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1、近世代数及其应用罗守山教授博士生导师北京邮电大学计算机学院9/7/20211第3章正规子群与商群本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。9/7/20212第1节陪集拉格朗日（Lagrange）定理先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群的阶都是有限母群阶的因子。9/7/20213集合的积设为群,是群子集,定义若，则的两个非空9/7/20214陪集的引入引例对于整数加群，模4的剩余类：构成的一个分类：现利用群的观点，分析此分类的特点：①分类中存在一个特殊的类[0]是

2、子群,而其余的类都不是子群.②每个类正好是这个子群“乘”上这个类中任取定的一个元素.[i]=i+[0].9/7/202159/7/202169/7/202179/7/20218陪集陪集思想：利用子群的一种等价关系,对群进行分类。9/7/202199/7/2021109/7/202111陪集9/7/2021129/7/2021139/7/202114陪集例9/7/2021159/7/2021169/7/2021179/7/2021189/7/2021199/7/202120例①②在中的全部不同的左陪集有:9/7/202121例③在中的全部不同的右陪集有:④⑤9/7/202122

3、陪集的性质及陪集分解左陪集的性质及左陪集分解2）3）4）1）群中每个元素属于且只属于一个左陪集，可以按照其子群的左陪集分类.的按照其子群的左陪集分类中除去外，再无子群因此群群存在.9/7/202123定义设是子群在群中的所有不同的左陪集，称等式为群关于子群的左陪集分解，而称为群的一个左陪集代表系.关于子群9/7/202124右陪集的性质及右陪集分解1）2）3）4）9/7/202125右陪集与左陪集的对应关系定理设，则群陪集含有相同个数的元素；且在中是到的一一映射;是,则是到映射.的任何两个证明集的个数与右陪集的个数相同.左陪到的一一映射;,的一一9/7/202126由上定理知

4、，，即是群关于子群的一是群的一个右陪集代表系.个左陪集代表系，关于子群9/7/2021279/7/2021289/7/2021299/7/202130陪集9/7/202131Lagrange定理证明证明因为,所以也是有限群，，且由前定理,且所以,在中左陪集的个数也有限.设从而9/7/2021329/7/202133Lagrange定理推论9/7/2021349/7/2021359/7/2021369/7/2021379/7/202138乘积集的例9/7/202139第2节正规子群商群9/7/2021409/7/2021419/7/2021429/7/2021439/7/202

5、1449/7/2021459/7/2021469/7/2021479/7/2021489/7/2021499/7/2021509/7/2021519/7/202152要判断一个子群是不是不变子群，一般来说，使用上述定理中所描述的判断方法比较方便．9/7/2021539/7/2021549/7/2021559/7/2021569/7/202157正规子群9/7/2021589/7/2021599/7/2021609/7/2021619/7/2021629/7/2021639/7/2021649/7/2021659/7/2021669/7/2021679/7/202168商群9/

6、7/202169商群9/7/2021709/7/2021719/7/202172单群9/7/202173第3节群同态基本定理9/7/202174定义若存在群到群的同态满射，则称群与群同态；若存在群到群的同构映射，则称群与群同构.假定是集合到的一个满射，，称为在之下的象；，称为在之下的逆象.为9/7/202175定理两个代数系统同态，与若是群，则也是群.证明：，是群，有结合律，则也有结合律；是同态满射，有是的左单位元；是的左逆元也是群.9/7/202176例证明关于做成群.证明：取是到的同态满射，而是群，因此是群.9/7/202177例是到的同态满射，{全体正负奇数}，代数运算

7、均为数的普通乘法正奇数1负奇数-1是群，而不是群.9/7/2021789/7/2021799/7/2021809/7/2021819/7/2021829/7/2021839/7/2021849/7/2021859/7/2021869/7/202187定理（群同态基本定理）群与同态，是到满射，则的同态证明：取9/7/202188说明：定理说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同态，在同构意义下是的一个商群.定理说明一个群则这个群因此，在同构意义下，上述定理的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.9/7/