高三一轮复习平面向量的数量积上课讲义.ppt

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1、高三一轮复习平面向量的数量积2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝．3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作．0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量

2、a

3、

4、b

5、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝．2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

6、a

7、与b在a的方向上的投影的乘积．

8、a

9、

10、b

11、cosθ0

12、b

13、cosθa·b＝0

14、a

15、2≤四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝．2．分配律：(a

16、＋b)·c＝．3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0[关键要点点拨]1．对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)

17、若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则

18、a·b

19、＝

20、a

21、·

22、b

23、，但对于向量a，b，却有

24、a·b

25、≤

26、a

27、

28、b

29、，等号当且仅当a∥b时成立．[典题导入](1)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)A．6　　　　　　B．5C．4D．3平面向量数量积的运算[听课记录]8a－b＝8(1，1

30、)－(2，5)＝(6，3)，所以(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30.即18＋3x＝30，解得x＝4.答案C[规律方法]平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝

31、a

32、

33、b

34、·cosθ求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．答案2[典题导入](1)已知

35、a

36、＝1，

37、b

38、＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为(　　)A．150°　　　B．90°C．60°D．30°两平面向量的夹角与垂直[听课记录]∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝

39、－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a与c的夹角为90°.答案B(2)(2013·大纲版全国高考)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)A．－4B．－3C．－2D．－1[听课记录]∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝0.∴

40、m

41、2－

42、n

43、2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0.∴λ＝－3.故选B.答案B[规律方法]1．求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2

44、．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及

45、a

46、，

47、b

48、或得出它们的关系．[跟踪训练]2．(1)设向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是(　　)A．x＝0或2B．x＝2C．x＝1D．x＝±2(2)已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则(　　)A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30°D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线平面向量的模答案A平面向量数量积的综合应用[规律方法]向量与其它知识结合，题

49、目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．3．坐标法我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证．【解析】　解法一：设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图所示，以C为原点建立平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，4)，因为D为