高三数学(理)一轮复习讲义43平面向量的数量积(人教a

高三数学(理)一轮复习讲义43平面向量的数量积(人教a

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1、第3讲 平面向量的数量积[最新考纲]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1.平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上

12、的投影

13、b

14、cosθ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.(1)数量积:a·b=

15、a

16、

17、b

18、cosθ=x1x2+y1y2.(2)模:

19、a

20、==.(3)夹角:cosθ==.(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(5)

21、a·b

22、≤

23、a

24、

25、b

26、(当且仅当a∥b时等号成立)⇔

27、x1x2+y1y2

28、≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·

29、c+b·c(分配律).辨析感悟1.对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算的结果是向量.(×)(2)(2013·湖北卷改编)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为-.(×)(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(×)2.对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)a·b=0,则a=0或b=0.(×)(5)(a·b)·c=a·(b·c).(×)(6)a·b=a·c(a≠0),则b=c.(×)[感悟·提升]三个

30、防范 一是两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,如(1);二是在向量数量积的几何意义中,投影是一个数量,不是向量.设向量a,b的夹角为θ,当θ为锐角时,投影为正值;当θ为钝角时,投影为负值;当θ为直角时,投影为0;当θ=0°时,b在a的方向上投影为

31、b

32、,当θ=180°时,b在a方向上投影为-

33、b

34、,如(2);当θ=0°时,a·b>0,θ=180°,a·b<0,即a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件,如(3);三是a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b,如(4).考点一 平面向量数量积的运

35、算【例1】(1)(2014·威海期末考试)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=(  ).A.2B.3C.4D.5(2)(2013·江西卷)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为________.解析 (1)∵a=(1,2),2a-b=(3,1)∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).∴a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.(2)由于a=e1+3e2,b=2e1,所以

36、b

37、=2,a·b=(e1+3e2)·2e1=2e+

38、6e1·e2=2+6×=5,所以a在b方向上的射影为

39、a

40、·cos==.答案 (1)D (2)学生用书第74页规律方法求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.【训练1】(1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=(  ).A.6B.5C.4D.3(2)(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°,且

41、

42、=3,

43、

44、=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为______.

45、解析 (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30,即18+3x=30,解得x=4.故选C.(2)∵⊥,∴·=0,∴(λ+)·=0,即(λ+)·(-)=(λ-1)·-λ2+2=0.∵向量与的夹角为120°,

46、

47、=3,

48、

49、=2,∴(λ-1)

50、

51、

52、

53、·cos120°-9λ+4=0,解得λ=.答案 (1)C (2)考点二 向量的夹角与向量的模【例2】(1)若非零向量a,b满足

54、a

55、=3

56、b

57、=

58、a+2b

59、,则a与b夹角的余弦值为________.(2)已知向量a,b满足a·b=0,

60、

61、a

62、=1,

63、b

64、=2,则

65、2a-b

66、=________.解析 (1)等式平方得

67、a

68、2=9

69、b

70、2=

71、a

72、2+4

73、b

74、2+4a·b,则

75、a

76、2=

77、a

78、2+4

79、b

80、2+4

81、a

82、

83、b

84、cosθ,即0=4

85、b

86、2+4·3

87、b

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