资源描述：
《高三数学大一轮复习讲义 5.3平面向量的数量积 理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.3 平面向量的数量积2014高考会这样考 1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a
10、与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±
11、a
12、
13、b
14、.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
15、a
16、与b在a的方向上的投影
17、b
18、cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝
19、a
20、cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝
21、a
22、
23、b
24、；当a与b反向时，a·b＝－
25、a
26、
27、b
28、，a·a＝a2，
29、a
30、＝；(4)cosθ＝；(5)
31、a·b
32、__≤__
33、a
34、
35、b
36、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)
37、a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则
38、a
39、2＝x2＋y2或
40、a
41、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离
42、AB
43、＝
44、
45、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.[难点正本 疑点
46、清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，、的夹角与角B的关系．3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1．已知向量a和向量b的夹角为135°，
47、a
48、＝2，
49、b
50、＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___.答案 －3解析
51、 a·b＝
52、a
53、
54、b
55、cos135°＝2×3×＝－3.2．已知a⊥b，
56、a
57、＝2，
58、b
59、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．答案 解析 由a⊥b知a·b＝0.又3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－2b2＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝.3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．答案 解析 设a和b的夹角为θ，
60、a
61、cosθ＝
62、a
63、＝＝＝.4．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)
64、，a·(2a－b)＝0，则k等于( )A．－12B．－6C．6D．12答案 D解析 由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12.5．(2012·陕西)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )A.B.C．0D．－1答案 C解析 利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.题型一 平
65、面向量的数量积的运算例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6B．5C．4D．3思维启迪：(1)由于∠C＝90°，因此选向量，为基底．(2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案 (1)D (2)C解析 (1)·＝(－)·(－)＝－·＋＝16.(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－
66、(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件． (2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．答案 1 1解析 方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)
