高三数学大一轮复习讲义 5.3平面向量的数量积 理 新人教a版

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1、§5.3 平面向量的数量积2014高考会这样考 1.考查两个向量的数量积的求法;2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模;3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直.复习备考要这样做 1.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法;2.理解数量积的运算性质;3.利用数量积解决向量的几何问题.1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a

10、与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±

11、a

12、

13、b

14、.2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=

19、a

20、cosθ;(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=

21、a

22、

23、b

24、;当a与b反向时,a·b=-

25、a

26、

27、b

28、,a·a=a2,

29、a

30、=;(4)cosθ=;(5)

31、a·b

32、__≤__

33、a

34、

35、b

36、.4.平面向量数量积满足的运算律(1)

37、a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到(1)若a=(x,y),则

38、a

39、2=x2+y2或

40、a

41、=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离

42、AB

43、=

44、

45、=.(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.[难点正本 疑点

46、清源]1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关,在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围.2.a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件.因为若〈a,b〉=0,则a·b>0,而a,b夹角不是锐角;另外还要注意区分△ABC中,、的夹角与角B的关系.3.计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法.1.已知向量a和向量b的夹角为135°,

47、a

48、=2,

49、b

50、=3,则向量a和向量b的数量积a·b=___.答案 -3解析

51、 a·b=

52、a

53、

54、b

55、cos135°=2×3×=-3.2.已知a⊥b,

56、a

57、=2,

58、b

59、=3,且3a+2b与λa-b垂直,则实数λ的值为________.答案 解析 由a⊥b知a·b=0.又3a+2b与λa-b垂直,∴(3a+2b)·(λa-b)=3λa2-2b2=3λ×22-2×32=0.∴λ=.3.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为______.答案 解析 设a和b的夹角为θ,

60、a

61、cosθ=

62、a

63、===.4.(2011·辽宁)已知向量a=(2,1),b=(-1,k)

64、,a·(2a-b)=0,则k等于(  )A.-12B.-6C.6D.12答案 D解析 由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b=2(4+1)-(-2+k)=0,∴k=12.5.(2012·陕西)设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于(  )A.B.C.0D.-1答案 C解析 利用向量垂直及倍角公式求解.a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ).∵a⊥b,∴a·b=-1+2cos2θ=0,∴cos2θ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=1-1=0.题型一 平

65、面向量的数量积的运算例1 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于(  )A.-16B.-8C.8D.16(2)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于(  )A.6B.5C.4D.3思维启迪:(1)由于∠C=90°,因此选向量,为基底.(2)先算出8a-b,再由向量的数量积列出方程,从而求出x.答案 (1)D (2)C解析 (1)·=(-)·(-)=-·+=16.(2)∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(8,8)-

66、(2,5)=(6,3).又∵(8a-b)·c=30,∴(6,3)·(3,x)=18+3x=30.∴x=4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题,充分利用了已知条件. (2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.答案 1 1解析 方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0)

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1、§5.3 平面向量的数量积2014高考会这样考 1.考查两个向量的数量积的求法;2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模;3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直.复习备考要这样做 1.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法;2.理解数量积的运算性质;3.利用数量积解决向量的几何问题.1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a

10、与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±

11、a

12、

13、b

14、.2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=

19、a

20、cosθ;(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=

21、a

22、

23、b

24、;当a与b反向时,a·b=-

25、a

26、

27、b

28、,a·a=a2,

29、a

30、=;(4)cosθ=;(5)

31、a·b

32、__≤__

33、a

34、

35、b

36、.4.平面向量数量积满足的运算律(1)

37、a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到(1)若a=(x,y),则

38、a

39、2=x2+y2或

40、a

41、=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离

42、AB

43、=

44、

45、=.(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.[难点正本 疑点

46、清源]1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关,在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围.2.a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件.因为若〈a,b〉=0,则a·b>0,而a,b夹角不是锐角;另外还要注意区分△ABC中,、的夹角与角B的关系.3.计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法.1.已知向量a和向量b的夹角为135°,

47、a

48、=2,

49、b

50、=3,则向量a和向量b的数量积a·b=___.答案 -3解析

51、 a·b=

52、a

53、

54、b

55、cos135°=2×3×=-3.2.已知a⊥b,

56、a

57、=2,

58、b

59、=3,且3a+2b与λa-b垂直,则实数λ的值为________.答案 解析 由a⊥b知a·b=0.又3a+2b与λa-b垂直,∴(3a+2b)·(λa-b)=3λa2-2b2=3λ×22-2×32=0.∴λ=.3.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为______.答案 解析 设a和b的夹角为θ,

60、a

61、cosθ=

62、a

63、===.4.(2011·辽宁)已知向量a=(2,1),b=(-1,k)

64、,a·(2a-b)=0,则k等于(  )A.-12B.-6C.6D.12答案 D解析 由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b=2(4+1)-(-2+k)=0,∴k=12.5.(2012·陕西)设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于(  )A.B.C.0D.-1答案 C解析 利用向量垂直及倍角公式求解.a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ).∵a⊥b,∴a·b=-1+2cos2θ=0,∴cos2θ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=1-1=0.题型一 平

65、面向量的数量积的运算例1 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于(  )A.-16B.-8C.8D.16(2)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于(  )A.6B.5C.4D.3思维启迪:(1)由于∠C=90°,因此选向量,为基底.(2)先算出8a-b,再由向量的数量积列出方程,从而求出x.答案 (1)D (2)C解析 (1)·=(-)·(-)=-·+=16.(2)∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(8,8)-

66、(2,5)=(6,3).又∵(8a-b)·c=30,∴(6,3)·(3,x)=18+3x=30.∴x=4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题,充分利用了已知条件. (2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.答案 1 1解析 方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0)

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