高三数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积导学案

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1、5.3平面向量的数量积【考纲目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．3．能运用数量积表示两个向量的夹角．一、自主学习要点1.数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则__________，叫做向量a与b的夹角；范围是.(2)a与b的夹角为度时，叫a⊥b.(3)若a与b的夹角为θ，则a·b＝.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.(5)a在b的方向上的投影为.(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则

2、a

3、＝，cosθ＝.a⊥b⇔.a∥b⇔.要点2．数量积满足的运算律已

4、知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝．(3)(a＋b)·c＝.要点3.注意(1)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(2)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(3)a·b中的“·”不能省略．二、合作，探究，展示，点评题型一平面向量的数量积的运算例1　(1)已知

5、a

6、＝2，

7、b

8、＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)点A，B，C满足

9、

10、＝3，

11、

12、＝4，

13、

14、＝5，则·＋·＋·的值是________．思考题1：已知a，b的夹角为120°，且

15、a

16、＝4

17、，

18、b

19、＝2，求：(1)(a－2b)·(a＋b)；　(2)

20、a＋b

21、；　(3)

22、3a－4b

23、.题型二向量的夹角例2　(1)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)A.　　　　　　B．－C.D．－(2)若两个非零向量a，b满足

24、a＋b

25、＝

26、a－b

27、＝2

28、a

29、，则向量a＋b与a的夹角为(　　)A.B.C.D.思考题2：(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且

30、a

31、＝1，

32、b

33、＝2，则a与b的夹角为________．(2)若平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m

34、＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2题型三向量的模例3　(1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则

35、a＋b

36、＝(　　)A.B.C．2D．10(2)已知向量a，b满足

37、a

38、＝6，

39、b

40、＝4，且a与b的夹角为60°，求

41、a＋b

42、和

43、a－3b

44、.思考题3：(1)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则

45、2e1－e2

46、＝________.(2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

47、c

48、的最大值是(　　)A．1B．2C.D.题型四平行与垂直例4　已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，O为原点．(1)若∥，

49、求tanα的值；(2)若⊥，求sin2α的值；(3)若

50、＋

51、＝且α∈(0，π)，求与的夹角．思考题4：(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则

52、3a＋b

53、＝________.(2)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则

54、a＋b

55、＝(　　)A.B.C．2D．10三、知识小结1．记忆向量的数量积公式应从两个方面：①定义，②向量的数量积的坐标公式．2．向量的数量积应用广泛，可用于求角、求长度、证垂直等问题．3．注意数形结合思想的应用，如加、减运算的几何意义，数量积的几何意义——投影．自助餐1．关于平面向量a，b，c，有下列

56、五个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②

57、a·b

58、＝

59、a

60、·

61、b

62、⇔a∥b；③a⊥b⇔

63、a＋b

64、＝

65、a－b

66、；④

67、a

68、＝

69、b

70、⇔

71、a·c

72、＝

73、b·c

74、；⑤若非零向量a和b满足

75、a

76、＝

77、b

78、＝

79、a－b

80、，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为______．2．已知两个非零向量a，b，满足

81、a＋b

82、＝

83、a－b

84、，则下面结论正确的是(　　)A．a∥b　　　　B．a⊥bC．

85、a

86、＝

87、b

88、D．a＋b＝a－b3．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C．－D．－4．设向量a，b满足

89、a＋b

90、＝，

91、a－b

92、＝，则a·b＝(　

93、　)A．1B．2C．3D．55．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．6．已知

94、a

95、＝4，

96、b

97、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

98、a＋b

99、和

100、a－b

101、；(3)若＝a，＝b，作△ABC，求△ABC的面积．《平面向量的数量积》课时作业1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)A．

102、a

103、＝　　　　B．

104、a·b

105、＝

106、a