2016高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版

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1、第3讲　平面向量的数量积一、填空题1．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案12．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝2，则a与b的夹角为________．解析设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案3．已

6、知向量a，b满足

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝2，a与b的夹角为60°，则

11、a－b

12、＝________.解析　

13、a－b

14、＝＝＝＝.答案　4．设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝________.解析　由＝2，得－＝2(－)，所以＝＋.同理＝＋，又⊥，所以·＝·＝2＋2＝×9＋×36＝10.答案　105．已知非零向量a，b满足

15、a＋b

16、＝

17、a－b

18、＝

19、a

20、，则a＋b与a－b的夹角为________．解析将

21、a＋b

22、＝

23、a－b

24、两边同时平方得：a·b＝0；将

25、a－b

26、＝

27、a

28、两边同时平方得：b2＝a2.所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.所以〈a＋

29、b，a－b〉＝60°.答案60°6．已知O是△ABC的内部一点，＋＋＝0，·＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．解析　由·＝

30、

31、

32、

33、cos60°＝2，得

34、

35、

36、

37、＝4，S△ABC＝

38、

39、

40、

41、sin60°＝，由＋＋＝0知，O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝.答案　7．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.　解析　建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，·＝·＝－2.答案　－28．已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四

42、边形的长度较小的对角线长为________．解析　由题意可知较小的对角线为

43、a－b

44、＝

45、3p＋2q－p＋q

46、＝

47、2p＋3q

48、＝＝＝＝.答案　9．已知平面向量a、b，

49、a

50、＝1，

51、b

52、＝，且

53、2a＋b

54、＝，则向量a与向量a＋b的夹角为________．解析∵

55、2a＋b

56、2＝4

57、a

58、2＋4a·b＋

59、b

60、2＝7，

61、a

62、＝1，

63、b

64、＝，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.答案10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·

65、＝________.解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案－1二、解答题11．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)若存在实数k和t，满足x＝(t＋2)a＋(t2－t－5)b，y＝－ka＋4b，且x⊥y，求出k关于t的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，试求出函数k＝f(t)在t∈(－2,2)上的最小值．解　(1)

66、a·b＝0，

67、a

68、＝2，

69、b

70、＝1，所以x·y＝－(t＋2)·k·a2＋4(t2－t－5)·b2＝0，故－(t＋2)·k·4＋4(t2－t－5)·1＝0，整理得k＝f(t)＝(t≠－2)．(2)k＝f(t)＝＝t＋2＋－5，因为t∈(－2,2)，所以t＋2>0，则k＝t＋2＋－5≥－3，当且仅当t＋2＝1，即t＝－1时取等号，所以k的最小值为－3.12.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝7，AD是∠BAC的平分线．(1)求证：DC＝2BD；(2)求·的值．(1)证明　在△ABD中，由正弦定理得＝.①在△ACD中，由正弦定理得＝.②又AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠

71、CAD，sin∠BAD＝sin∠CAD，又sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，由①②得＝＝，所以DC＝2BD.(2)解　因为DC＝2BD，所以＝.在△ABC中，因为cosB＝＝＝.所以·＝·＝

72、

73、

74、

75、cos(π－B)＝×3×7×＝－.13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解(1)由题设知＝(3,5