2019-2020年高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习5.3平面向量的数量积试题理苏教版一、填空题1.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.解析∵a+b与ka-b垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0,化简得(k-1)(a·b+1)=0,根据a、b向量不共线,且均为单位向量得a·b+1≠0,得k-1=0,即k=1.答案12.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且

2、a

3、=1,

4、b

5、=2,则a与b的夹角为________.解析设a与b的夹角为θ,依题意

6、有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cosθ=-6,所以cosθ=,因为0≤θ≤π,所以θ=.答案3.已知向量a,b满足

7、a

8、=1,

9、b

10、=2,a与b的夹角为60°,则

11、a-b

12、=________.解析 

13、a-b

14、====.答案 4.设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·=________.解析 由=2,得-=2(-),所以=+.同理=+,又⊥,所以·=·=2+2=×9+×36=10.答案 105.已知非零向量a,b满足

15、a+b

16、=

17、a-b

18、

19、=

20、a

21、,则a+b与a-b的夹角为________.解析将

22、a+b

23、=

24、a-b

25、两边同时平方得:a·b=0;将

26、a-b

27、=

28、a

29、两边同时平方得:b2=a2.所以cos〈a+b,a-b〉===.所以〈a+b,a-b〉=60°.答案60°6.已知O是△ABC的内部一点,++=0,·=2,且∠BAC=60°,则△OBC的面积为________.解析 由·=

30、

31、

32、

33、cos60°=2,得

34、

35、

36、

37、=4,S△ABC=

38、

39、

40、

41、sin60°=,由++=0知,O是△ABC的重心,所以S△OBC=S△ABC=.答案 7.若等

42、边三角形ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=________. 解析 建立直角坐标,由题意,设C(0,0),A(2,0),B(,3),则M,·=·=-2.答案 -28.已知向量p的模为,向量q的模为1,p与q的夹角为,且a=3p+2q,b=p-q,则以a,b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________.解析 由题意可知较小的对角线为

43、a-b

44、=

45、3p+2q-p+q

46、=

47、2p+3q

48、====.答案 9.已知平面向量a、b,

49、a

50、=1,

51、b

52、=,且

53、2a+b

54、=,则向量a与向量a+b的夹

55、角为________.解析∵

56、2a+b

57、2=4

58、a

59、2+4a·b+

60、b

61、2=7,

62、a

63、=1,

64、b

65、=,∴4+4a·b+3=7,a·b=0,∴a⊥b.如图所示,a与a+b的夹角为∠COA,∵tan∠COA==,∴∠COA=,即a与a+b的夹角为.答案10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cosA=acosC,S△ABC=,则·=________.解析依题意得(3sinB-sinC)cosA=sinAcosC,即3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(

66、A+C)=sinB>0,于是有cosA=,sinA==,又S△ABC=·bcsinA=bc×=,所以bc=3,·=bccos(π-A)=-bccosA=-3×=-1.答案-1二、解答题11.已知平面向量a=(,-1),b=.(1)若存在实数k和t,满足x=(t+2)a+(t2-t-5)b,y=-ka+4b,且x⊥y,求出k关于t的关系式k=f(t);(2)根据(1)的结论,试求出函数k=f(t)在t∈(-2,2)上的最小值.解 (1)a·b=0,

67、a

68、=2,

69、b

70、=1,所以x·y=-(t+2)·k·a2+

71、4(t2-t-5)·b2=0,故-(t+2)·k·4+4(t2-t-5)·1=0,整理得k=f(t)=(t≠-2).(2)k=f(t)==t+2+-5,因为t∈(-2,2),所以t+2>0,则k=t+2+-5≥-3,当且仅当t+2=1,即t=-1时取等号,所以k的最小值为-3.12.如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=6,BC=7,AD是∠BAC的平分线.(1)求证:DC=2BD;(2)求·的值.(1)证明 在△ABD中,由正弦定理得=.①在△ACD中,由正弦定理得=.②又AD平分∠BAC,所以∠BA

72、D=∠CAD,sin∠BAD=sin∠CAD,又sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,由①②得==,所以DC=2BD.(2)解 因为DC=2BD,所以=.在△ABC中,因为cosB===.所以·=·=

73、

74、

75、

76、cos(π-B)=×3×7×=-.13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-

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