高三数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积教案 理 新人教a版

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1、§5.3　平面向量的数量积2014高考会这样考　1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做　1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条

10、件是a·b＝±

11、a

12、

13、b

14、.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝

19、a

20、cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

21、a

22、

23、b

24、；当a与b反向时，a·b＝－

25、a

26、

27、b

28、，a·a＝a2，

29、a

30、＝；(4)cosθ＝；(5)

31、a·b

32、__≤__

33、a

34、

35、b

36、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

37、5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

38、a

39、2＝x2＋y2或

40、a

41、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离

42、AB

43、＝

44、

45、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.[难点正本　疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．a·b>0是两个

46、向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，、的夹角与角B的关系．3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1．已知向量a和向量b的夹角为135°，

47、a

48、＝2，

49、b

50、＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___.答案　－3解析　a·b＝

51、a

52、

53、b

54、cos135°＝2×3×＝－3.2．已知a⊥b，

55、a

56、＝2，

57、b

58、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．答案　解析　由a⊥b知a·b＝0.又3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝

59、3λa2－2b2＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝.3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．答案　解析　设a和b的夹角为θ，

60、a

61、cosθ＝

62、a

63、＝＝＝.4．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　)A．－12B．－6C．6D．12答案　D解析　由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12.5．(2012·陕西)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于(　　)A.B.C．0D．－1答案　C解析

64、　利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.题型一　平面向量的数量积的运算例1　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于(　　)A．6B．5C．4D．3思维启迪：(1)由于∠C＝90°，因此选向量，为基底．(2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案

65、　(1)D　(2)C解析　(1)·＝(－)·(－)＝－·＋＝16.(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.探究提高　求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．　(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．答案　1　1解析　方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正

66、方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)