高三数学大一轮复习 平面向量的数量积及其应用学案 理 新人教a版

高三数学大一轮复习 平面向量的数量积及其应用学案 理 新人教a版

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1、平面向量的数量积及其应用导学目标:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.自主梳理1.向量数量积的定义(1)向量数量积的定义:____________________________________________,其中

2、a

3、cos〈a,b〉叫做向量a在b方向上的投影.(2)向量数量积的性质:①如果e是单位向量,则a·e=e·

4、a=__________________;②非零向量a,b,a⊥b⇔________________;③a·a=________________或

5、a

6、=________________;④cos〈a,b〉=________;⑤

7、a·b

8、____

9、a

10、

11、b

12、.2.向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=________;(2)分配律:(a+b)·c=________________;(3)数乘向量结合律:(λa)·b=________________.3.向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=____

13、____________________;(2)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥b⇔________________________;(3)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),则

14、a

15、=________________,cos〈a,b〉=____________________________.(4)若A(x1,y1),B(x2,y2),则

16、=________________________,所以

17、

18、=_____________________.自我检测1.(2010·湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于(  )A.-16B.-8C.8D.162

19、.(2010·重庆)已知向量a,b满足a·b=0,

20、a

21、=1,

22、b

23、=2,则

24、2a-b

25、=(  )A.0B.2C.4D.83.(2011·福州月考)已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于(  )A.-2B.2C.D.-4.平面上有三个点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为________________.5.(2009·天津)若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=________.探究点一 向量的模及夹角问题例1 (2011·马鞍山月考)已知

26、a

27、=4,

28、b

29、=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ

30、;(2)求

31、a+b

32、;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.变式迁移1 (1)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则

33、c

34、的最大值是(  )A.1B.2C.D.(2)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,实数λ的取值范围为________.探究点二 两向量的平行与垂直问题例2 已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且ka+b的长度是a-kb的长度的倍(k>0).(1)求证:a+b与a-b垂直;(2)用k表示a·b;(3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ.变式迁移2 (2009·

35、江苏)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求

36、b+c

37、的最大值;(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a=,b=,且x∈.(1)求a·b及

38、a+b

39、;(2)若f(x)=a·b-

40、a+b

41、,求f(x)的最大值和最小值.变式迁移3(2010·四川)已知△ABC的面积S=··=3,且cosB=,求cosC.1.一些常见的错误结论:(1)若

42、a

43、=

44、b

45、,则a=b;(2)若a2=b2,则a=b;(3)若a∥b,b∥c,则a∥

46、c;(4)若a·b=0,则a=0或b=0;(5)

47、a·b

48、=

49、a

50、·

51、b

52、;(6)(a·b)c=a(b·c);(7)若a·b=a·c,则b=c.以上结论都是错误的,应用时要注意.2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模

53、a

54、==

55、a

56、=a与b的数量积a·b=

57、a

58、

59、b

60、cosθa·b=x1x2+y1y2a与

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