heisenberg群上弱拟正则映射正则性的自我改善

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1、数学年刊2013，34A(5)：579—588Heisenberg群上弱拟正则映射正则性的自我改善木饶婕晟郑神州提要考虑定义在Heisenberg群上的弱拟正则映射其水平微商可积性的自我改善．在广义水平微商可积指数低于第1层空间维数的情况下，通过接触映射的Jacobian和广义水平微商Jacobian的关系，建立了逆向H61der不等式，从而得到其可积指数的自我提升．关键词Heisenberg群，弱拟正则映射，Hodge分解MR(2000)主题分类30c65，35R03中图法分类O175．5文献标志码A文章编号1000—83

2、14(2013)05—0579-101引言对平面拟正则映射，由于复平面动力系统的特殊性，Astala[]得到一弱拟正则映射弱微商可积性最优指数：而2K

3、化和改进，文[6]根据Jacobi行列式结构特性，给出1waniec工作的一个简化证明；文f7]根据紧支光滑函数的Jacobi行列式有散度结构特点，利用Hardy—Littlewood极大函数建立Caccioppoli不等式，从而给出了弱拟正则映射正则性的另一种方法．Heisenberg群是单连通幂零分层Lie群(通常称之为Carnot群)的一个重要特例．基于CR流形、量子力学和非牛顿流体力学的应用背景，Markina[8]对Carnot群上的拟正则映射奇异集的Hausdorf维数估计得到一些结果．Li[9】用停时理论对He

4、isenberg群正Ⅱ上的弱拟正则映射建立了Caccioppoli不等式，得到其广义水平微商的可积指数提高到大于．本文基于文[6】在Heisenberg群的推广，通过扰动向量场的Hodge分解式及Jacobi矩阵变换的相互关系，对于定义在Heisenberg群上水平Sobolev空间日(Q，衄)，1

5、一般的Carnot群时还有一些困难．欧式空间R“上的弱拟正则映射定义参见文【2-3，61．为了定义Heisenberg群上的弱拟正则映射，需引入有关概念和记号：设r为自然数，一个．厂层的Carnot群G是一个单连通Lie群，它的Lie代数g是具有r阶(r≥2)的幂零分层(r=1，即为)，即g=0，=1本文2012年3月9日收到，2012年l1月7日收到修改稿．北京交通大学理学院，北京100044．E—mail：shzhzheng@bjtu．edu．ca本文受到国家自然科学基金(No．11071012)的资助．580数学年刊3

6、4卷A辑使得[，]：v1+i(i=l，⋯，r一1)，但[Ⅵ，]=0．设mi=dimV~，i=1，⋯，r，则rrN=∑mi为G的拓扑维数，Q=∑i·mi为G的齐次维数，详见文[10—12]．=1=1设=(x1，X2，⋯，}表示Carnot群G第1层上在黎曼度量g下的正交基，是G上相应的左不变向量场(左不变表示平移后不变)，即G上存在一个左不变黎曼度量g，使得9(，)：％．那么决定了切丛TG的一个子丛HT：日=span{Xl(X)，⋯，())，z∈G(1．1)称日为X∈G的水平切空间，日为G的水平切丛，也就是TG的水平子丛根据文

7、[10—111，现将1，⋯，延拓为拓扑空间g上的一组标准正交基：X1，⋯，m1，，’一，lⅣ～m1．记其对偶基为dXl，⋯，d，丁1，⋯，一，对偶积为(·，·)：×一，则(，dxi)=(，7i)：(，"ri)=(，dxi)=0．当(x，I-／)=0对所有i：l，⋯，N—m1都成立时，则称向量场为水平的．(n≥2)上通常的阿贝尔交换群就是Carnot群，此时Xi=，i=1，⋯，几．Heisenberg群衄(礼≥1)则是二步Carnot群(即r=2)的一个重要特例，它与。+同构[—0，引．事实上，它是这样一类点集：x=(，t)∈

8、C×瓞，t∈，X∈C，=(Xl，⋯，X)+i(x+i，⋯，X2)．对于X=(X，t)和Y=(Y，s)定义群运算：X·Y=(+Y，t+s+2Imx一y／)，半范I(，t)lH=(Ix个+)．ⅡⅡ”的Lie代数则由以下左不变向量场所张成：m∑=去+2巧+，xj+=一2xjo，=，=1，⋯，(1