一般正则泛函的w-极小的正则性

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1、第18卷第2期数学研究与评论Vol.18No.21998年5月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONMay1998X一般正则泛函的W-极小的正则性费　　宁(大连理工大学应用数学系,116024)摘　要　本文讨论了一般的正则泛函:F(u;8)=∫f(x,u,Du)dx8的局部W2极小的C1,A正则性.获得了处理W2极小u的Hoblder连续的指数估计.关键词　W2极小,正则性,正则泛函.分类号　AMS(1991)35A07öCCLO175.21　预备知识n12NN设8是n维欧氏空间R的开区域.u

2、=(u,u,⋯,u)是8→R的可微映射.Du=i{DAu},i=1,2,⋯,N;A=1,2,⋯,n.f(x,u,Du)满足以下条件:NnN(A1)　存在常数+≥K>0,使得对于任意(x,u,p)∈8×R×R,有22nNKûpû-a≤f(x,u,p)≤+ûpû+a,Pp∈R,常数a>0.N(A2)P(x,u)∈8×R,f(x,u,p)关于p是二次连续可微函数.其导函数有界.对于NiN2ij={NA}∈R,CûNû≤fpipj(x,u,p)NANB;ûfpp(x,u,p)û≤L,其中C,L是正常数.ABnNf(x,u,p)N(A3)　对于p∈

3、R,函数2在8×R上关于p是一致连续的,即:存在一个连续1+ûpû的有界单调增加的下凸函数h(t),使得:222ûf(x,u,p)-f(y,v,p)û≤(1+ûpû)h(ûx-yû+ûu-vû)N对于(x,u)和(y,v)∈8×R成立.h(0)=0.1N1N定义1.1设u∈H(8,R),若PU∈H0(8,R),有F(u;8)≤(1+W(R))F(u+U;8),称u是F的W2极小.N定义1.2称F(u;8)=∫f(x,u,Du)dx是一般正则泛函,是指f(x,u,p)在8×R×8nNR上,关于x可测,对几乎所有的x∈8,f(x,u,p)关于

4、(u,p)连续.定义1.3称一般正则泛函F(u;8)是局部W2极小正则的,是指存在某个开集80<8,F(u;80)是W2极小正则的,而且测度(8-80)=0.在文献[2],[4],[5]中已经有的部分结论:X1995年12月4日收到.—239—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.1NAi1N定理1.1设u∈H(8,R)是方程组∫Ai(Du)õDAUdx=0,PU∈H0(8,R)的解,8A其中Ai(Du)满足A2Akj2nNûAi(p)û≤Mûpû和K

5、ûNû≤Apjõ(p)NANB≤+ûNû,PN∈R,B2,2Nii则u∈H0(8,R).并且U=(Uk)=(Dku),k=1,2,⋯,n;i=1,2,⋯,N是方程组Aji1nNDklõAipj(U)õDBUkõDAUdx=0,PU∈H0(8,R),∫Bl82AjljknN的解,其中KûNû≤DjklõAipõNANB,PN∈R,当k=l时,Dkl=1;当k≠l时,Dkl=0.BABij1NAB定理1.2设u是方程组∫Aij(x,u)õDAuõDBUdx=0,PU∈H0(8,R)的解,Aij(x,8N2ABij2nNu)∈C(8×R)满足K

6、ûNû≤Aij(x,u)NANB≤+ûNû,PN∈R,若对每个常数M0>0,存在AB仅依赖于M0,n,N,K,+以及Aij的E0,R0,对于某个x0∈8,R

7、01定理1.3记F0(v,BR)=f(x0,ux,R,Dv)dx在容许函数类J={v∈H(BR,∫B(x)0R0NR)ûv=u在5BR上成立}中有W2极小v.记w=u-v则22ûDwûdx≤[F0(u;BR)-F0(v;BR)],常数C>0.∫B(x)CR01N定理1.4设u∈H(8,R)是正则泛函NnNF(u;8)=∫f(x,u,Du)dx,(x,u,Du)∈8×R×R81,rN的局部W2极小,在A1条件下,存在常数C0>2,当r∈[2,C0],u∈H0(8,R),BR<<8时,有2rö22(1+ûDuû)dx≤C(1+ûDuû)dx,

8、∫B(x)∫BRö20R常数C与R无关.2　一般正则泛函的W2极小的局部正则性△1N引理2.1取x0∈8,BR=BR(x0)<<8,函数v∈H(BR,R)在容许函数类J={v∈1NH(BR,R