磁schr(-)dinger方程解的零点集以及landau-degennes泛函极小的部分正则性

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1、个易战抿再Ewww7llabla0.net_论文发表专家磁Schr（?）dinger方程解的零点集以及Landau-deGennes泛函极小的部分正则性【摘要】：液晶和超导的技术在现代物理中有着广泛的运用•以超导为例，它可以用于能源、医疗、信息、国防等诸多方面.在现实生活中，最常见的液晶是作为传递信息的工具——液晶显示，它提供了人与机器对话的平台•和信在未来的时问里,液晶和超导的研究仍然是物理学家和数学家所关注的焦点•在超导的数学理论研究中，我们考虑磁Schrodinger方程：在Q中，其解屮的结点集Ng）的情况•在超导物理学中,Ng）被称为涡旋集.在该点处超导体有磁场穿过，失

2、去超导性.对Ng）的研究有助于了解涡旋集的性质•众所周知，有关结点集NW）的研究难点主要集屮在临界集S（屮）上面做首先，在边界条件：VA屮・V=O下，我们对磁Schrodinger方程解的临界集建立了整体的1维Hausdorff测度估计•这与之前有关临界集的Hausdorff测度研究的情形有所不同.在我们的问题中，方程解是复函数而非实函数；其二，我们考虑的方程是带有磁Schrodinger算子；第三，我们能将估计做到整个区域上，而非局部的估计•其次，我们來研究NW）的情况•由于v是复值函数，故N帥）的几何结构往往很复杂，可能为孤立点、曲线、甚至曲面•面对此问题,我们选择对V附加

3、了“拟共形映射”的条件•证明了在该条件下，屮的结点集N帥）是1维可数可求长的,并且其1维Hausdorff测度是有界的.为了能获得有关结点集的更多信息，下面我们从拓扑的角度来研究方程解的复杂性•即考虑结点集的拓扑性质——Betti数J.Milnor（［53］）t个易找衣冉7www.yitaDiao.net_论文发表专家对多项式结点集的Betti数总和给出了一个上界估计•而对于一般的二阶椭圆型方程的情况，目前尚无结果•我们证明了对一般的二阶椭圆方程的解u，其结点集N(u)的Betti数总和是有界的•通过Betti数的研究,本质地揭示了结点集的几何特征,也使我们对结点集的几何结构有

4、进一步的了解•在液晶的数学理论研究中・Landau-deGennes模型是描述液晶相变过程的重要模型Z—.这里我们主要考虑Landau-deGennes泛函的一个简化形式：建立了非平凡极小元(屮,n)的部分正则性结果,即在Q中除去一个1维Hausdorff测度为0的相对闭集之后,(屮小)是解析的•它的研究与OseemFrank泛函的情形不同：其一，我们研究的Landau-deGennes泛函是两个变量的泛函,并且我们将序参数屮视为一个独立于向量场n的变量•另外，我们研究的泛函中包含了与Oseen-Frank泛函不同的能量项，因此，它将给的定理的证明带来一定的复杂性•通过部分止则

5、性的研究，使我们对液晶的物理性质有了更加深入的了解.【关键词】：临界集结点集磁Schr(or)dinger方程Betti数Hausdorff测度Landau-deGennes泛函部分正则性液晶超导【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】:0175.2【目录】:摘要6-8Abstract8-12目录12-14第一章引言14-20第二章磁Schrodinger方程解的零点集20-682.1磁Schrodinger方程解的临界集的Hausdorff测度估计20-492.1.1问题的提出20-222.1.2

6、/的一些性_论文发表专家质定理2

7、2-262.1.3S(v)的局部Hausdorff测度估计26-292.1.4在Neumann边界条件下的整体Hausdorff测度估计29-482.1.5定理2.1的证明48-492.2磁Schrodinger方程解的结点集的Hausdorff测度估计49-562.2.1问题的提出49-50222屮的性质定理与N(i

8、/)的几何结构50-532.2.3定理2.11的证明53-562.3二阶椭圆型方程解的结点集的Betti数估计56-682.3.1问题的提出56-572.3.2有用的引理57-592.3.3稳定性结果59-612.3.4定理2.15的证明61-68第三章Land

9、au一deGennes泛函极小的部分止则性68-923.1问题的提出68-703.2准备工作70-743.2.1Euler-Lagrange方程703.2.2尺度变化下的极小元70-743.3极小元(屮,n)的部分正则性74-923.3.1blow-up序列及blow-up方程74-823.3.2能量不等式82-883.3.3定理3.1的证明88-92第四章总结与展望92-93发表文章目录93-94参考文献94-101