非线性schr(o)dinger方程的辛算法

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1、万方数据第33卷笫5期JournalofSouthw西est南Un民iv族ers大ity学fo学rN报ati‘on白al然itie枣sN学at版uralScienceEditionoct．20071．1。文章编号：1003-2843(2007)05-1035-05非线性SchrSdinger方程的辛算法王秀凤1，张磊2(1．广东药学院数学教研室，广东广州510000；2．深圳太学电干科学与技术学院，翠圳5lS060)摘要：络出了非线性Sehr墩linger方程的二阶Ealet中点格式、四阶Euler中点格式、二阶蛙跪格式和四阶蛙跳格式，并且作了数值实验验证这些格

2、式的可行性井比较其误差．并且对同样截断误兰阶的一种辛格式和一种非辛的差分格式进行比较．我们选取二阶蛙跳格式和二阶两层格式作了数值实验井对它们的运行结果作了比较．发现辛算法比同样截断误差的非辛算法误差小，时间越长优势越明显．关键词：非践性薛定评方程；哈密顿系统：辛算法中固分类号：0175．2文献标识码：A1引言非线性Schr6dinger方程州LsE)在高能物理、非线性光学、超导以及深水波等许多领域有着广泛的应用．尤其是因为非线性SchrOdinger方程是描述光孤子的数学方程”1，而光孤子通信作为非线性光纤通信系统，相对目前运行的线性通信系统具有许多优势．光纤中

3、的孤子是满足一定条件的非线性波包，在长距离传输中，甚至相互碰撞后其形状、振幅和传播速度都保持不变．如以孤子作为信息载体，就可以大大增加传输距离和增大信息容量．光孤子通信的这种优势随着通信系统码速率提高将逐步显示出来，在未来超高速长距离跨海洋光纤通信系统和城市大容量通信网的建立中，光孤子通信是—个重要的选择方式哆因此研究非线性Schr6dinger方程的数值解法具有非常重要的理论意义和实用价值．辛算法可以保持哈密顿系统的辛结构，因而辛算法在长期跟踪能力方面具有非辛算法不可比拟的优势哪f41．所以本文用辛算法来求解非线性Sehr6dinger方程并用数值实验说明辛算

4、法在长期跟踪方面明显优于非辛算法．2非线性Sehr6dinger方程的辛差分格式2．1非线性Sclu6dinger方程的Euler中点格式非线性哈密顿系统的Euler中点格式为：三仁m+·一。m)：，一H，f!：旦1．f。。‘L2／因为非线性SchrOdinger方程的哈密顿函数为：Ho，V)=弘V7峭j+i1刽N一2；)2．则非线性Schrfdinger方程的二阶Euler中点格式为：’严1科+心一舍2](竿)亿(三爿(竿]，收稿日期：200％04—05作者简介；王秀N,(1980-)，广东药学院数学教研室助教，研究方向：数值与应用软件万方数据1036西南民族

5、大学学报·自然科学版第33卷其中⋯铭{(华)2+(华卜·，(华]2+(华]2}’这是二阶隐式辛格式，此时的截断误差为D(出2+Ax2)．可以用“冻结系数法”16】分析其稳定性，此格式是绝对稳定的，但由于是用不动点迭代来实现此格式的，因此程序的稳定性另一方面也取决于迭代次数，理沦上来讲只要迭代次数足够大，此格式就是绝对稳定的．同理可以给出非线性Schr6dinger方程的四阶Euler中点辛格式：，1习+r匕一舍4](竿H三苫](竿]，其中。=魄{[华)2+(华]，．．．，[华)2+(华)2}'其截断误差阶为D(m2+Ar4)．可以用“冻结系数法”p)分析其稳定性

6、，此格式是绝对稳定的，但由于是用不动点迭代来实现此格式的因此程序的稳定性另一方面也取决于迭代次数，理论上来讲只要迭代次数足够大，此格式就是绝对稳定的．2．2非线性Schr6dinger方程的蛙跳格式非线性哈密顿系统的蛙跳格式为：z”1=2rd～H，(z⋯l+z”1．因为非线性Schrodinger方程的哈密顿函数为：砘V)=妒V7吨H势㈠)2，其中则非线性Sehrfdinger方程的二阶蛙跳格式为：广。叫～zr∞斟Ⅵr口社，E=凼昭缸二)2十0匀)2，⋯，0Nm)z+(v：)2}非线性schr甜inger方程的蛙跳格式为二阶显示格式，其截断误差阶为D(△f2+A

7、x2)此蛙跳格式的稳定性条件为0

8、=机=0，f=1，r／=