AL-空间上连续算子的正则性

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1、西南交通大学硕士研究生学位论文第1页第1章绪论§1．1Riesz空间理论发展简述Riesz空间又称向量格或线性格，最早出现追溯至20世纪初期对Banach空间的系统研究。1928年，匈牙利数学家F．Riesz在布拉格国际数学家大会上作了《关于线性泛函分解》的报告，标志着Riesz空间与正算子理论研究的开端。“序”作为一种新的有力工具也开始得到了重视与发展。20世纪30年代，随着ERiesz，L．V．Kantorovic和H．Freudenthal等人在这一领域的深入研究，Riesz空间与正算子理论进入了系统研究阶段，也出现了

2、以L．V．Kantorovic，A．G．Pinsker和B．Z．Valikh为代表的苏联学派，以H．Nakano、TDgaswara，K．Yosida为代表的日本学派和以GBirkhoff,M．M．Stone为代表的美国学派。然而，从40年代到50年代末期，正算子理论的发展几乎处于停滞阶段，有价值的论文也非常少见。直到50年代末期，L．V．Kantorovoic，B．z．Vulikh等人编写的“FunctionalAnalysisinParticallyorderedSpaces”一书的出版，才又使这一理论的研究渐入佳境。1

3、974年，德国数学家H．H．Schaefer的著作“BanachLatticeandPositiveOperators”的问世标志着正算子理论已步入快速发展阶段，尤其是在上世纪末的二十多年里，这一领域的研究工作受到了空前的瞩目，不但理论上更加完善，研究内容更加丰富而且研究的方式方法也多样、新颖，融合了经典泛函分析、拓扑学理论、函数论、代数学等主要数学分支的内容，可谓博众家之长，独树一帜。其中，以A．C．Zaanen，W．A．J．Laxemburg，C．D．Aliprantis，0．Burkinshaw，D．H．Fremlin

4、，M．Meyer，EMeyer-Nieberg，C．B．西南交通大学硕士研究生学位论文第2页Huijsmans，VA．Abramovieh，A．wWiekstead等为杰出代表的一批优秀数学工作者。进入新世纪，随着越来越多的数学工作者投身这个领域，Riesz空间与正算子理论的发展日趋成熟、完善。与此同时，在其它学科，如：数学物理、经济学、随机过程等领域的广泛应用，为这一理论指引了新的研究方向，也使它焕发出了勃勃生机!§1．2有关正则算子的研究与发展概况对Riesz空间E到F的正则算子空间F(E，F)的序结构研究是一个相当古老

5、的问题。在Riesz空问理论研究的开始，也就是上世纪30年代，L．V．Kantorovich，H．Freudental和F．Riesz⋯就证明了当像空问F是Dedekind完备时，正则算子空间r(E，F)也是一个Dedekind完备的Riesz空间。几十年以后，也就是1982年，Y．A．Abramowich和VA．Gejler证明了对任意的定义域空间E，正则算子空间r(E，F)是一个Riesz空间的充分必要条件就是像空间F的Dedekind完备性。1984年A．C．M．vanRooq在他的博士论文。1“Whendothere

6、gularoperatorsbetweentwoRieszspacesformsaRieszspace?’’由就这个问题验证了很多具体空间中的情况。他所得的一个重要结论是以下对固定的Riesz空间E的一个刻画：对某个Riesz空间F，r(五，F)是一个Riesz空间当且仅当存在一个集合s使得E同构于c矗p)空间(C。。$)是所有S上的实函数空间，并且对c。。@)中每个元素，都存在一个有限集合DCS使得在s＼D上厂=0)。1990年以后，Y‘A．Abramovich和A．W．Wickstead开始深入研究当像空间F不是Dede

7、kind完备时正则算子空间r(E，F)的序结西南交通大学硕士研究生学位论文第3页构。为了在这个研究方向有所突破，他们首先研究了像空间或定义域空问是lo(除了在一个有限集上其余都是常数的所有实数序列)的情况。这是研究非Dedekind完备Riesz空间情况最具代表性的问题。当像空间是嚣时，他们证明了如果定义域空问E是一致完备的Riesz空间，那么J下则算子空间Lr(e，臂)就是一个Riesz空间。而当定义域E是等空间时，正则算子空间rl瑶，F)是一个Riesz空间当且仅当F是Dedekind仃一完备的。特别地，当考虑从等到留的

8、情况时，我们发现正则算子空间L7It；，学)就不是一个Riesz空间，更令人吃惊的是它甚至没有Riesz分解性质。Y．A．Abramovich和A．W．Wichstead所发现的另一个重要结论是：当定义域空间F是可分Banach格时，，的Dedekind盯一完备性对正则算子空问r(E，F)