弹性力学第二章平面问题的基本理论.ppt

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1、平面问题的基本理论xyO·空间问题的简化§2-1平面应力问题与平面应变问题弹性力学均为空间问题，但在特殊情况下，可简化为平面问题，能减少未知量个数，便于方程求解，且精度不受影响。·平面应力问题♢几何特征等厚度薄板♢面力与约束只在板边上，平行于板面，不沿厚度变化♢体力平行于板面，不沿厚度变化§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应力问题♢简化分析板面无面力和约束板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续分布切应力互等定理§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应力问题应力分量只剩★应力只存在平面应力，所以称为平面应力问

2、题板很薄，外力和约束不沿厚度变化♢简化分析★应力分量均为x、y的函数，不随z变化§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应力问题♢工程实例平板坝的平板支墩深梁§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应变问题♢几何特征无限长的柱形体，横截面不沿长度变化♢面力与约束作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方向变化；♢体力作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度方向变化；§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应变问题♢简化分析截面、外力、约束沿z不变，外力、约束平行xy面，柱体无限长任何截面都是对称面w=0，u、v≠0τzx=

3、0、τzy=0εz=0γzx=0、γzy=0εx、εy、γxy≠0★应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题★应变和位移均为x、y的函数，不随z变化§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应变问题♢工程实例挡土墙隧道虽然这些结构并不符合无限长柱形假设，但离两端较远处，仍可按平面应变问题进行计算，精度可满足要求。§2-2平衡微分方程·平衡微分方程微元体的平衡平衡微分方程*建立应力分量与体力分量之间的关系*表示物体内任意点的微元体平衡条件§2-2平衡微分方程·微元体*微元体尺寸dx、dy、1*应力分量作用在微分面中心上*

4、应力分量随坐标变化*体力作用在体心*变形后尺寸可用变形前尺寸代替xyOσx∂σx∂xσx+dx§2-2平衡微分方程·推导∴∴∵∴切应力互等定理(1)§2-2平衡微分方程·推导(2)坐标轴方向合力为0方程两边同除dxdy同理，ΣFy=0平衡微分方程§2-2平衡微分方程·总结平衡微分方程*3个未知量，2个方程，还需另外方程*弹性体内任意区域都精确成立*平面应力和平面应变问题都适用*基于连续性、小变形假定§2-3平面问题中一点的应力状态·问题的提出已知P点应力分量，求过P点任意斜面上应力?xyOPABncos(n,x)=l

5、,cos(n,y)=mppxpypx：p在x轴投影py：p在y轴投影AB=dsPB=ldsPA=mdsΔPAB=lds·mds/2§2-3平面问题中一点的应力状态·推导xyOPABnppxpyσyσxτyxτxyΣFx=0，得pxds-σxlds-τxymdslds·mds+fx2=0fxfy同除ds，且ds→0px=lσx+mτxyΣFy=0，得py=mσy+lτxy(2-3)§2-3平面问题中一点的应力状态·推导xyOPABnppxpyσnτnσn：AB面上正应力τn：AB面上切应力σn=lpx+mpy由(2-3

6、)式，得σn=l2σx+m2σy+2lmτxyτn=lpy-mpxτn=lm(σy-σx)+(l2-m2)τxy★由一点应力分量可求任一斜面上正(切)应力§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力xyOPABn’σnτnσ：主应力=pxm由(2-3)式，得σ-σxA’B’σA’B’：应力主面n’：应力主向py=mσlσx+mτxy=lσmσy+lτxy=mσlσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0τxy=mσ-σylτxy=lσ主应力特征方程全应力=正应力§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力特征方程xyO

7、PABn’σnτnA’B’σσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0*两主应力都是实数*σ1+σ2=σx+σy*l2m2cosα2cos(90–α2)cosα2sinα2l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力方向xyOPσ1α1tanα1===tanα2===σ1-σxτxy§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力方向xyOPσ1α1σ1由(a)式，得tanα1=σ1-σxτxy=σ2-σyτxytanα2,σ1+σ2=σx+σy=-tanα2∴ta

8、nα1·tanα2=-1∴σ1σ2σ2σ2⊥l2m2cosα1cos(90–α2)cosα2sinα2l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1tanα1===tanα2===§2-3平面问题中一点的应力状态·最大最小正应力xyOσ1σ1由(2-4)式，得τxy=0∴σ2σ2σx=σ1σy=σ2l2σx+m2σy+2lmτxyσ