重庆大学线性代数期末考试试卷及答案2011年12月.doc

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1、线性代数11A试卷答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．设互不相同，行列式，则的充要条件是.（第1行加到第3行，提取公因式，可变为范得蒙行列式）2．设是阶方阵，且，则.3．已知，方阵满足，则.4．设三阶矩阵，如果与线性相关，则.5．设是非齐线性方程的三个解向量，如果是该方程的解，则满足条件.6．若三阶方阵满足，则有一个特征值为　　　二、单项选择题（每小题３分，共18分）1．设均为阶方阵，则必有【C】A．;B．;C．;D．.2．以下结论正确的是【Ｄ】A．若，则；B．若，则或;　Ｃ.若，则;D．若为对称阵，则为对称阵．3．设均为阶方阵，，

2、则必有【A】A．等价于;B．与有相同的解空间;C．相似于;D．合同于．4．设为阶方阵，，则必有【C】A．;B．;C．;D．5．齐次线性方阵有非零解的充要条件是【B】A．的行向量组线性相关；B．的列向量组线性相关；C．的行向量组线性无关；D．的列向量组线性无关.6．设方阵有相同的特征值，则必有【Ａ】A．；B．；C．相似于；D．三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．计算行列式的值．解：2．已知向量组．说明线性无关。求该向量组的秩及一个最大无关组。解:（1）因对应分量不成比例。（2）所以秩为３，最大无关组为或其它。3．设矩阵，矩阵满足，求

3、。解：，且可逆，故四、计算题（二）（每小题12分，共24分）1．当取何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷多解时求其通解。解(1)当时，，方程组有唯一解。（2）当时，，方程组无解。（3）当时，，方程组有无穷解。此时通解为2．已知三阶方阵有三个线性无关的特征向量，是的二重特征根，求可逆方阵使为对角阵。解:A有三个线性无关的特征向量，且是的二重特征根，则必有而，故，另一特征根为所对应的特征向量为;所对应的特征向量为记,则为对角阵。五、综合题（每小题8分,共16分）1．设均为阶方阵，满足，证明可逆，且。证明：故可逆。故2．设为阶

4、方阵，是维列向量，且，如果，证明向量组线性无关。证明：设满足①由已知②①并将②代入得：③③并将②代入得：且，故将代入③得将，代入①得故向量组线性无关