重庆大学线性代数答案[1]

重庆大学线性代数答案[1]

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1、习题一解答1、填空(3)设有行列式含因子的项为答:或(5)设,的根为解:根据课本第23页例8得到的根为(6)设是方程的三个根,则行列式=解:根据条件,比较系数得到,;再根据条件,,;原行列式=(7)设,则=解:相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式,其值为0.(8)设,则=解将按第四列展开得到=,第四列的元素全变成1,此时第四列与第二列对应成比例,所以=0.=,,则证因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式,假设第一个行列式变成:==行列式的变换和行列式的变换完全相同,同样假设行列式变成==或将的第列连续经过次对换(依次和其前面的列对换)而成为第1列

2、,第列连续经过次对换而成为第2列,如此下去,第列连续经过次对换而成为第列,共经过次列对换而变成,所以=。7、计算下列行列式:(1),(2)其中(3)(4)(5)解(1)第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后,第1行提出得==.(2)==第行减去第行、第行减去第行、…第4行减去第3行、第3行减去第2行、第2行减去第1行得(3)====(4)将按第一行展开=+=(5)+,其中=于是===习题二解答8题设,求为正整数)解记,则,20题设,,为正整数,证明证因为,,所以=21题设,,,求。解因为,=,,所以===23、填空选择题:(1)为阶方阵,为其伴随阵,,则解因,所以

3、,(7)设均为阶方阵,可逆,则可逆,且=;;;解法一:题目只说均为阶方阵,没有说可逆,于是全错.解法二:因可逆,设其逆矩阵为,则,于是.因为===所以可逆,且=24、设,(为正整数),证明.证所以.推论:设均为阶方阵,若,则,26、设均为阶方阵,且,,证明可逆,并求其逆.证由得,代入得到=,于是,,所以可逆,27、若对任意的矩阵,均有=0,证明必为零矩阵.证=,因为对任意的矩阵,均有=0,于是分别取=、、…,代入=0得到,,,….所以为零矩阵28、设为阶方阵,证明的充分必要条件是.证若,则;反过来设=,若=0则,,…,,于是习题三解答第97页2选择题(4)设线性相关

4、,线性无关,则()线性相关.线性无关.能由线性表示.能由线性表示.解因为线性相关,所以线性相关,又因为线性无关;于是能由线性表示.答:(5)设向量能由向量组线性表示但不能由向量组(Ι):线性表示,记向量组(Ⅱ):,则().不能由(Ι)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示,不能由(Ι)线性表示,但能由(Ⅱ)线性表示,能由(Ι)线性表示,也能由(Ⅱ)线性表示能由(Ι)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解因为向量能由向量组线性表示,所以存在,使=++;因为不能由向量组线性表示,于是,=++,即能由(Ⅱ)线性表示.假若能由(Ι)线性表示,则存在,使=++代入=++得到能由(Ι)

5、线性表示.矛盾,故选择7、设向量能由向量组线性表示,且表示唯一,证明线性无关.证设++=,即=++(1)因为向量能由向量组线性表示,即=++(2)(1)+(2)得=++表示唯一得到,,,于是全为零,故线性无关.8、设向量组线性相关,线性无关,证明:(1)能由线性表示;(2)不能由线性表示证(1)因为线性无关,所以线性无关,而线性相关,故能由线性表示,即存在使=+;(2)假若能由线性表示,则存在,使=++;将=+代入=++得到能由线性表示,于是线性相关,与条件线性无关矛盾.故不能由线性表示.12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示,证明向量组线性无关.证因为维向量

6、组能由单位坐标向量组线性表示,根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为,因此向量组线性无关.13、设是维向量组,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一维向量都能由它们线性表示.证设线性无关,为任一维向量.向量组,一定线性相关,于是能由线性表示;反过来若任一维向量都能由线性表示,则维单位坐标向量组能由维向量组线性表示,根据第12题向量组线性无关.14、设向量组(Ι):的秩为,向量组(Ⅱ):的秩为,向量组(Ⅲ):,的秩为,证明.证不妨设向量组(Ι)的最大线性无关组为,向量组(Ⅱ)的最大线性无关组为.向量组(Ι)能由其最大线性无关组线性表示,向量组(Ⅱ)能

7、由其最大线性无关组线性表示,于是向量组(Ⅲ)能由向量组,线性表示.故是,中个线性无关的向量,于是,同样可以证明,因此.故.15、设是矩阵,是矩阵,证明:.证设=,=,则=根据第14题得到16、设,都是矩阵,证明证设=,=,则+=而且能由线性表示.根据第14题,得到17、设是矩阵,是矩阵,证明:证设=,=,=,于是==即能由线性表示,因此.同样可以证明故.习题四解答:6(4) 求的通解解~,,方程组有无穷多个解,解空间的维数是2,同解方程组为,原方程组的通解为7、当为何值时,非齐次线性方程组有解?并求其通解.解 =第一行除以2后加到第二行、第三行;第一行除以.~~

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