重庆大学线性代数答案

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1、习题一解答1、填空（3）设有行列式含因子的项为答：或（5）设，的根为解：根据课本第23页例8得到的根为（6）设是方程的三个根，则行列式=解：根据条件，比较系数得到，；再根据条件，，；原行列式=（7）设，则=解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.（8）设，则=解将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=0.=，，则证因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：==行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列

2、式变成==或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。7、计算下列行列式：（1），（2）其中（3）（4）（5）解（1）第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后，第1行提出得==.（2）==第行减去第行、第行减去第行、…第4行减去第3行、第3行减去第2行、第2行减去第1行得(3)====（4）将按第一行展开=+=（5）+，其中=于是===习题二解答8题设，求为正整数）解记，则，20

3、题设，，为正整数，证明证因为，，所以=21题设，，，求。解因为，=，，所以===23、填空选择题：（1）为阶方阵，为其伴随阵，，则解因,所以,（7）设均为阶方阵，可逆，则可逆，且=；；；解法一：题目只说均为阶方阵，没有说可逆，于是全错.解法二：因可逆，设其逆矩阵为，则，于是.因为===所以可逆，且=24、设，（为正整数），证明.证所以.推论：设均为阶方阵，若，则，26、设均为阶方阵，且，，证明可逆，并求其逆.证由得，代入得到=，于是，，所以可逆，27、若对任意的矩阵，均有=0，证明必为零矩阵.证=

4、，因为对任意的矩阵，均有=0，于是分别取=、、…，代入=0得到，，，….所以为零矩阵28、设为阶方阵，证明的充分必要条件是.证若，则；反过来设=，若=0则，，…，，于是习题三解答第97页2选择题（4）设线性相关，线性无关，则（）线性相关.线性无关.能由线性表示.能由线性表示.解因为线性相关，所以线性相关，又因为线性无关；于是能由线性表示.答：（5）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（Ι）：线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则（）.不能由（Ι）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示，不能由（Ι）线性表示，但

5、能由（Ⅱ）线性表示，能由（Ι）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示能由（Ι）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示.解因为向量能由向量组线性表示，所以存在，使=++；因为不能由向量组线性表示，于是，=++，即能由（Ⅱ）线性表示.假若能由（Ι）线性表示，则存在，使=++代入=++得到能由（Ι）线性表示.矛盾，故选择7、设向量能由向量组线性表示，且表示唯一，证明线性无关.证设++=，即=++（1）因为向量能由向量组线性表示，即=++（2）（1）+（2）得=++表示唯一得到，，，于是全为零，故线性无关.8、设向量组

6、线性相关，线性无关，证明：（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示证（1）因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故能由线性表示，即存在使=+；（2）假若能由线性表示，则存在，使=++；将=+代入=++得到能由线性表示，于是线性相关，与条件线性无关矛盾.故不能由线性表示.12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关.证因为维向量组能由单位坐标向量组线性表示，根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为，因此向量组线性无关.13、设是维向量组，证明它们线性无关的充分必

7、要条件是：任一维向量都能由它们线性表示.证设线性无关，为任一维向量.向量组，一定线性相关，于是能由线性表示；反过来若任一维向量都能由线性表示，则维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，根据第12题向量组线性无关.14、设向量组（Ι）：的秩为，向量组（Ⅱ）：的秩为，向量组（Ⅲ）：，的秩为，证明.证不妨设向量组（Ι）的最大线性无关组为，向量组（Ⅱ）的最大线性无关组为.向量组（Ι）能由其最大线性无关组线性表示，向量组（Ⅱ）能由其最大线性无关组线性表示，于是向量组（Ⅲ）能由向量组，线性表示.故是，中个线性无

8、关的向量，于是，同样可以证明，因此.故.15、设是矩阵，是矩阵，证明：.证设=，=，则=根据第14题得到16、设，都是矩阵，证明证设=，=，则+=而且能由线性表示.根据第14题，得到17、设是矩阵，是矩阵，证明：证设=，=，=，于是==即能由线性表示，因此.同样可以证明故.习题四解答：6（4）　求的通解解~，，方程组有无穷多个解，解空间的维数是2，同解方程组为，原方程组的通解为7、当为何值时，非齐次线性方程组有解？并求其通解.解　=第一行除以2后加到第二行、第三行；第一行除以.~~