对勾函数模型.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第十周对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义b对勾函数是指形如：y＝ax＋x(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．b2．对勾函数y＝ax＋x(a>0，b>0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2√????]∪[2√????，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．bbbb(4)单调性：(－∞，－a)，

2、(a，＋∞)上是增函数；(－a，0)，(0，a)上是减函数．(5)渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)bb3．y＝ax＋x(a>0，b>0)的单调区间的分界点：±a.bb求分界点方法：令ax＝x?x＝±a.a特殊的，a>0时，y＝x＋x的单调区间的分界点：±a.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a>0，b>0，则x>0时

3、，ax＋bx≥2ab.bb当且仅当ax＝x，x＝a时取等号．在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和bx都是正项，且二者乘积为定值，同时ax＝bx中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析5例1已知f(x)＝x＋x，求f(x)在下列区间的最小值．(1)[1,2];(2)[3,4];(3)[－3，－1]．【解析】如图，f(x)在(－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f(x)在[1,2]上单调递减

4、，1∴f(x)min＝f(2)＝42.(2)因为f(x)在[3,4]上单调递增，2所以f(x)min＝f(3)＝43.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2(3)因为f(x)在[－3，－5]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f(－3)＝－43，f(－1)＝－6，所以f(x)min＝－6.变式训练已知函数x2＋5x的值．f(x)＝，求f(x)的最小值，并求此时x2＋4x2＋5＝x2＋4＋1＝x2＋4＋1【解析】f(x)＝x2＋4x2＋4x2＋4令t＝x2＋4，

5、则t≥2，y＝t＋1t.∵y＝t＋1在[2，＋∞)单调递增，t15∴当t＝2时，ymin＝2＋2＝2，此时，x2＋4＝2，x＝0.综上，f(x)的最小值为52，此时x的值为0.例2求函数f(x)＝x2－2x－1(0≤x≤3)的值域．x＋2【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2,2≤t≤5，(t－2)2－2(t－2)－1y＝t＝t2－6t＋7＝t＋7－6,2≤t≤5.tt∵y＝t＋7－6在[2，7]上单调递减，在[7，5]上单调递增，t∴当t＝7时，ymin＝27－6，且当t＝2时，y＝2＋7－6＝－1，223⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯当t＝5时，y＝5＋7－6＝2，∴ymax＝2.5552综上，f(x)的值域为[27－6，5]．变式训练求函数f(x)＝x2－4x＋12，x∈[2，5]的值域．x－1【解析】f(x)＝x2－4x＋12x－1＝(x－1)2－2(x－1)＋9＝x－1＋9－2，x－1x－19令t＝x－1，则f(t)＝t＋t－2，t∈[1,4]．9结合y＝t＋t的图象与性质，可知当t∈[1,3]时，函数单调递减，当t∈[3,4]时，函数单调递增，又f(1)＝8，f(3)＝4，f

7、(4)＝174，所以f(x)∈[4,8]．例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为kg(n)＝n＋1(k>0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g(n)＝k，当n＝0时，

8、由题意，n＋1可得k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)(10－8)－100n(n∈Z且n≥0)．n＋14⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)由f(n)＝(100＋10n)(10－8)－100nn＋1＝100