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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠
2、加”而成的函数。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”。如下图所示：a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我
3、们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。。当x<0时，错误！未找到引用源。。即对勾函数的定点坐标：对勾函数的图像（ab异号）(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。(四)对勾函数的单调性1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(五)对
4、勾函数的渐进线y由图像我们不难得到：OXy=ax(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对勾函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数yx22x4的最小值。x22x3解：令tx22x3，则t(x1)222yt21t1tt根据对勾函数yt1在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当t2时y有最小值32。t2此时x=-1.2、求函数ysinx2(xk,kZ)的单调区间，并求当x(0,)时函数的最小值。sinx2在（0，解：令t=sinx,对勾号函数yt2）上是减函数，
5、故当x(0,]时sinx是增函数，所以2t22ysinx在(0,]上是减函数。同理，ysinx在(,)上是增函数，由于函数sinx2sinx2ysinx2是奇函数，所以函数ysinx2在(,0)上是减函数，在(,)上是增函sinxsinx22数，由周期性，函数ysinx2在每一个区间(2k,2k)(kZ)上是减函数，在每一个区sinx22间(2k,2k)(kZ)上是减函数；函数ysinx一个区间在每2sinx(2k,2k)(kZ)上是增函数，在每一个区间(2k,2k3)(kZ)上是增函数。当22x
6、(0,)时t(0,1]，当t=1时即x时y有最小值3。ax2+1220(本小题12分)已知函数f(x)=x.(1)在a>0时求f(x)的单调区间(不必写过程);2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,
7、xi
8、>1(2)若a(i=1,2,3),求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)>2a.1解：整理得：f(x)=ax+x(1)当a0时,f(x)的减区(-,0)和(0,+);当a>0时,f(x
9、)的减区(-1,0)和1增区1和1,+)⋯⋯⋯5分a(0,),(-,-)(aaa(2)明:由条件知：x1,x2,x3中至多一个数.⋯⋯⋯6分ⅰ若123都正数,由(1)可知
10、xi1时,f(
11、xi1()x,x,x
12、>a
13、)>f(a)=2a(i=1,2,3)f(x1)+f(x2)+f(x3)>6a>2a⋯⋯⋯9分(ⅱ)若x1,x2,x3中有一数,不妨x3<0.∵x23且31,231+x>0
14、x
15、>ax>-x>af(x2)>f(-x3)=-f(x3)(∵f(x)奇函数)f(x2)+f(x3)>01f(x1
16、)+f(x2)+f(x3)>f(x1)>f()=2a⋯⋯⋯12分a上,f(x1)+f(x2)+f(x3)>2a.⋯⋯⋯13分3
