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1、--对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x叠“加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(
2、x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a>0，
3、b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。----------1-----(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，。当x<0时，。即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。(四)对勾函数的单调性y(五)对勾函数的渐进线OXy=ax由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数yaxb，在a0或b0时为简单的
4、单调函数，不予讨论。x在a0且b0时有如下几种情况：(1)a0,b0(2)a0,b0(3)a0,b0(4)a0,b0设y1ax，y2b，则yy1y2axb，其定义域为x
5、xR,且x0xb在(x(1)a0,b0时，yax，y2,0),(0,)上分别单调递增。1x故yy1y2axb在(,0),(0,)为单调递增函数。b在(x(2)a0,b0时，y1ax，y2,0),(0,)上分别单调递减。xb在(故yy1y2ax,0),(0,)为单调递减函数x(3)a0,b0图像略1当x0时，y1ax0，y2b0yy1b2axbab。
6、当且仅当axbbxy2ax2，即x取等号。xxxa2当x0时yax0，yb0bbbb，即b-----yy1y2ax)，当且仅当axx12xx(ax2ax2abxaxx（因为x0，故舍掉xb）取等号。a-----2-----4)a0,b01当x0时，y1ax0，y2b0yyy2axb(axb)2axb2ab。当且仅当axb，即b取等号。x1xxxxxa2当x0时y1ax0，y2b0ybaxbb，即xbxy1y2ax22ab，当且仅当axa取等号。xxx三、关于求函数yx1x0最小值的十种解法x1.均值不等式x0，y1
7、2，当且仅当x11的时候不等式取到“=”。当x1的时候，ymin2x，即xxx2.法yx1x2yx10x若y的最小值存在，则y240必需存在，即y2或y2（舍）找到使y2时，存在相应的x即可。通过观察当x的时候，ymin213.单调性定义设0x1xfx1fx211x211x1x2x1x212x1x2x1x1x2x1x2x1x2当对于任意的x1,x2，只有x1,x20,1时，fx1fx20，此时fx单调递增；当对于任意的x1,x2，只有x1,x21,时，fx1fx20，此时fx单调递减。当x1取到最小值，yminf1
8、24.复合函数的单调性112yxx2xxtx1在0,单调递增，yt22在,0单调递减；在0,单调递增x又x0,1t,0x1,t0,原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增即当x1取到最小值，yminf125.求一阶导yx1y'11当x0,1时，y'0，函数单调递减；当x1,时，y'0，函数单调递增。xx2当x1取到最小值，yminf12-----6.三角代换令xtan，0,，则1cot2xyx1cot20,20,tansin2x2当，即2时，sin2max1，ymin2，显然此时x142-----3-----7.
9、向量yx1x111ab，ax,1,b1,1xxxababcos2acos根据图象，a为起点在原点，终点在y1x0图象上的一个向量，acos的几何意义为a在b上的投影，x显然当ab时，acos取得最小值。此时，x1，ymin2228．图象相减yx1x1，即y表示函数yx和y1两者之间的距离xxx求ymin，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线yx，显然当yx与
