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1、--对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x)。当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x叠“加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。当a,b同号时,f(
2、x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y=b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像(ab同号)当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)对勾函数的图像(ab异号)一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来,为了研究方便,我们规定a>0,
3、b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。----------1-----(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到:当x>0时,。当x<0时,。即对勾函数的定点坐标:(三)对勾函数的定义域、值域由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。(四)对勾函数的单调性y(五)对勾函数的渐进线OXy=ax由图像我们不难得到:(六)对勾函数的奇偶性:对勾函数在定义域内是奇函数,二、类耐克函数性质探讨函数yaxb,在a0或b0时为简单的
4、单调函数,不予讨论。x在a0且b0时有如下几种情况:(1)a0,b0(2)a0,b0(3)a0,b0(4)a0,b0设y1ax,y2b,则yy1y2axb,其定义域为x
5、xR,且x0xb在(x(1)a0,b0时,yax,y2,0),(0,)上分别单调递增。1x故yy1y2axb在(,0),(0,)为单调递增函数。b在(x(2)a0,b0时,y1ax,y2,0),(0,)上分别单调递减。xb在(故yy1y2ax,0),(0,)为单调递减函数x(3)a0,b0图像略1当x0时,y1ax0,y2b0yy1b2axbab。
6、当且仅当axbbxy2ax2,即x取等号。xxxa2当x0时yax0,yb0bbbb,即b-----yy1y2ax),当且仅当axx12xx(ax2ax2abxaxx(因为x0,故舍掉xb)取等号。a-----2-----4)a0,b01当x0时,y1ax0,y2b0yyy2axb(axb)2axb2ab。当且仅当axb,即b取等号。x1xxxxxa2当x0时y1ax0,y2b0ybaxbb,即xbxy1y2ax22ab,当且仅当axa取等号。xxx三、关于求函数yx1x0最小值的十种解法x1.均值不等式x0,y1
7、2,当且仅当x11的时候不等式取到“=”。当x1的时候,ymin2x,即xxx2.法yx1x2yx10x若y的最小值存在,则y240必需存在,即y2或y2(舍)找到使y2时,存在相应的x即可。通过观察当x的时候,ymin213.单调性定义设0x1xfx1fx211x211x1x2x1x212x1x2x1x1x2x1x2x1x2当对于任意的x1,x2,只有x1,x20,1时,fx1fx20,此时fx单调递增;当对于任意的x1,x2,只有x1,x21,时,fx1fx20,此时fx单调递减。当x1取到最小值,yminf1
8、24.复合函数的单调性112yxx2xxtx1在0,单调递增,yt22在,0单调递减;在0,单调递增x又x0,1t,0x1,t0,原函数在0,1上单调递减;在1,上单调递增即当x1取到最小值,yminf125.求一阶导yx1y'11当x0,1时,y'0,函数单调递减;当x1,时,y'0,函数单调递增。xx2当x1取到最小值,yminf12-----6.三角代换令xtan,0,,则1cot2xyx1cot20,20,tansin2x2当,即2时,sin2max1,ymin2,显然此时x142-----3-----7.
9、向量yx1x111ab,ax,1,b1,1xxxababcos2acos根据图象,a为起点在原点,终点在y1x0图象上的一个向量,acos的几何意义为a在b上的投影,x显然当ab时,acos取得最小值。此时,x1,ymin2228.图象相减yx1x1,即y表示函数yx和y1两者之间的距离xxx求ymin,即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线yx,显然当yx与