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时间:2018-11-05
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1、
2、对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x)。当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。当a,b同号时,f(x)
3、=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y=b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像(ab同号)当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)对勾函数的图像(ab异号)一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0
4、。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。
5、(一)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到:当x>0时,。当x<0时,。即对勾函数的定点坐标:(二)对勾函数的定义域、值域由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。yXOy=ax(三)对勾函数的单调性(四)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到:(五)对勾函数的奇偶性:对勾函数在定义域内是奇函数,二、类耐克函数性质探讨函数,在为简单的单调函数,不予讨论。在有如下几种情况:(1)(2)(3)(
6、4)设,,则,其定义域为(1)时,,在上分别单调递增。故在为单调递增函数。(2)时,,在上分别单调递减。故在为单调递减函数(3)图像略当时,,。当且仅当,即取等号。当时,,当且仅当,即(因为,故舍掉)取等号。
7、4)当时,,。当且仅当,即取等号。当时,,当且仅当,即取等号。三、关于求函数最小值的十种解法1.均值不等式,,当且仅当,即的时候不等式取到“=”。当的时候,2.法若的最小值存在,则必需存在,即或(舍)找到使时,存在相应的即可。通过观察当的时候,3.单调性定义设当对于任意的,只有时,,此时单调递增;当对于任意的,
8、只有时,,此时单调递减。当取到最小值,4.复合函数的单调性在单调递增,在单调递减;在单调递增又原函数在上单调递减;在上单调递增即当取到最小值,5.求一阶导当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增。当取到最小值,6.三角代换令,,则当,即时,,,显然此时
9、7.向量,根据图象,为起点在原点,终点在图象上的一个向量,的几何意义为在上的投影,显然当时,取得最小值。此时,,8.图象相减,即表示函数和两者之间的距离求,即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线,显然当与相切时,两曲线竖直距离最小。关于直线轴对称,若与在处有一交点,根
10、据对称性,在处也必有一个交点,即此时与相交。显然不是距离最小的情况。所以,切点一定为点。此时,,9.平面几何依据直角三角形射影定理,设,则显然,为菱形的一条边,只用当,即为直线和之间的距离时,取得最小值。即四边形为矩形。此时,,即,10.对应法则设,,对应法则也相同左边的最小值右边的最小值(舍)或当,即时取到最小值,且
11、四、对勾函数练习:1.若x>1.求的最小值2.若x>1.求的最小值3.若x>1.求的最小值4.若x>0.求的最小值5.已知函数(1)求(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围
12、6.
13、:方程sin2x-asinx+4=0在[0,]内有解,则a的取值范围是__________7.函数的最小值为____________;函数的最大值为_________。8.函数的最大值为。9、若,则的最值是。10.函数的最小值是。11.若不等式在上恒成立,则的取值范围是。12.求函数的最值。13.14.
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