对勾函数专业资料

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2、对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)

3、=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0

4、。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

5、(一)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，。当x<0时，。即对勾函数的定点坐标：(二)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。yXOy=ax(三)对勾函数的单调性(四)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(五)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数，在为简单的单调函数，不予讨论。在有如下几种情况：(1)(2)(3)(

6、4)设，，则，其定义域为(1)时，，在上分别单调递增。故在为单调递增函数。(2)时，，在上分别单调递减。故在为单调递减函数(3)图像略当时，，。当且仅当，即取等号。当时，，当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。

7、4)当时，，。当且仅当，即取等号。当时，，当且仅当，即取等号。三、关于求函数最小值的十种解法1.均值不等式，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”。当的时候，2.法若的最小值存在，则必需存在，即或（舍）找到使时，存在相应的即可。通过观察当的时候，3.单调性定义设当对于任意的，只有时，，此时单调递增；当对于任意的，

8、只有时，，此时单调递减。当取到最小值，4.复合函数的单调性在单调递增，在单调递减；在单调递增又原函数在上单调递减；在上单调递增即当取到最小值，5.求一阶导当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。当取到最小值，6.三角代换令，，则当，即时，，，显然此时

9、7.向量，根据图象，为起点在原点，终点在图象上的一个向量，的几何意义为在上的投影，显然当时，取得最小值。此时，，8．图象相减，即表示函数和两者之间的距离求，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线，显然当与相切时，两曲线竖直距离最小。关于直线轴对称，若与在处有一交点，根

10、据对称性，在处也必有一个交点，即此时与相交。显然不是距离最小的情况。所以，切点一定为点。此时，，9.平面几何依据直角三角形射影定理，设，则显然，为菱形的一条边，只用当，即为直线和之间的距离时，取得最小值。即四边形为矩形。此时，，即，10.对应法则设，，对应法则也相同左边的最小值右边的最小值（舍）或当，即时取到最小值，且

11、四、对勾函数练习：1．若x>1.求的最小值2.若x>1.求的最小值3.若x>1.求的最小值4.若x>0.求的最小值5.已知函数（1）求(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围

12、6.

13、:方程sin2x－asinx+4=0在[0,]内有解，则a的取值范围是__________7.函数的最小值为____________；函数的最大值为_________。8.函数的最大值为。9、若，则的最值是。10.函数的最小值是。11.若不等式在上恒成立，则的取值范围是。12.求函数的最值。13.14.