对勾函数模型.doc

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1、.第十周　对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y＝ax＋(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y＝ax＋(a>0，b>0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2ab]∪[2ab，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数；(－，0)，(0，)上是减函数．(5)渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)3．y＝ax＋(a>0，b>0)的单调区间的分界点：±.求分界点方法

2、：令ax＝⇒x＝±.精选word范本！.特殊的，a>0时，y＝x＋的单调区间的分界点：±.4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a>0，b>0，则x>0时，ax＋≥2.当且仅当ax＝，x＝时取等号．在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和都是正项，且二者乘积为定值，同时ax＝中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1　已知f(x)＝x＋，求f(x)在下列区间的最小值．(1)[1,2];(2)

3、[3,4];(3)[－3，－1]．【解析】如图，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－，0)，(0，)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f(x)在[1,2]上单调递减，精选word范本！.∴f(x)min＝f(2)＝4.(2)因为f(x)在[3,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(3)＝4.(3)因为f(x)在[－3，－]上单调递增，在(－，－1]上单调递减，且f(－3)＝－4，f(－1)＝－6，所以f(x)min＝－6.变式训练　已知函数f(x)＝，求f(x)的最小值，并求此时x的值．【解析】f(x)＝＝＝＋令t＝，则t≥2，y＝t＋.∵y＝t＋在

4、[2，＋∞)单调递增，∴当t＝2时，ymin＝2＋＝，此时，＝2，x＝0.综上，f(x)的最小值为，此时x的值为0.例2　求函数f(x)＝(0≤x≤3)的值域．【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2,2≤t≤5，y＝＝＝t＋－6,2≤t≤5.精选word范本！.∵y＝t＋－6在[2，]上单调递减，在[，5]上单调递增，∴当t＝时，ymin＝2－6，且当t＝2时，y＝2＋－6＝－，当t＝5时，y＝5＋－6＝，∴ymax＝.综上，f(x)的值域为[2－6，]．变式训练　求函数f(x)＝，x∈的值域．【解析】f(x)＝＝＝x－1＋－2，令t＝x－1，则f(t)＝t＋－2，t∈[1

5、,4]．结合y＝t＋的图象与性质，可知当t∈[1,3]时，函数单调递减，当t∈[3,4]时，函数单调递增，又f(1)＝8，f(3)＝4，f(4)＝，所以f(x)∈[4,8]．例3　某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k>0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．精选word范本！.(1)求k的值，并求出f(n)的表

6、达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g(n)＝，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)(10－)－100n(n∈Z且n≥0)．(2)由f(n)＝(100＋10n)(10－)－100n＝1000－80(＋)≤1000－80×2＝520，当且仅当＝，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练　建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a元/米2和2a元/米2.底面一边长为x米，总造价为y.写出y与x的函数式，问底面边长x为何值时总造价y最低，是多少？

7、【解析】长方体底面积S＝＝100米2，地面一边长为x米，因此另一边长为米，池壁总面积为8·(2x＋)米2，∴总造价y＝100×2a＋(2x＋)·8·a＝200a＋16a(x＋)(x>0)．精选word范本！.∵函数y＝200a＋16a(x＋)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数，∴当x＝10时，总造价最低，且ymin＝520a(元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是(　　)A．y＝x＋B．y＝x＋C．y＝21＋x＋21－xD．y＝x2＋＋3，(x≠0)2．函数y＝x＋，x∈(1,3]的值域为(　　)A．[，5)B．[4