第三章矩阵的初等变换与线性方程组.docx

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、矩阵的初等变换和初等矩阵1.初等变换的定义1)Kri或kci，k≠0；初等倍乘变换2)Ri+krj或ci+kcj；初等倍加变换3)Ri<->rj，ci<->cj；初等对换变换2.初等矩阵定义：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。即一个矩阵仅做一次初等倍乘变换或仅做一次初等倍加变换或仅做一次初等对换变换。B=2-1-11211-2144-62-2436-979～11-2142-1-1122-31-～11-21402-2200-55-3-603-34-3～11-21401--60001-3～11-21401--～10

2、-10401--形如AP=F或PA=F，其中F是A的最简行矩阵，化法是（A,E）～（F，P）例1：设A=2-1-111-24-62的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F。解：用上述方法解此题（A，E）=2-1-110011-20104-62001～11-20100-331-200-44-201～10-1-33101-13-2--8-3故得：F=10-101-1000，P=-3313-2-110-8-3二、矩阵的秩通常用R或r表示矩阵的秩；如A的秩是2可表示为R(A)=r｜A｜=2相似矩阵：定义：存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=倍，则称矩阵A与B相

3、似即A～B。矩阵的一些最基本的性质：l若A～B，则R(A)=R(B)l0≤R(Am*n)≤min{m,n}lR(AT)=R(A)l若PQ可逆，则R(PAQ)=R(A)lMax{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B=b为非零列向量时有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1lR(A+B)≤R(A)+R(B)lr(AB)≤Min{r(A),r(B)}lA是m*n矩阵，r(ATA)=r(A)lA是m*n矩阵,B是n*p矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤l若r(Am*n)=n,则r(A*B)=B若r(Bn*s)=n,则r(A*B)=r(A

4、)lr(A*)=n,r(A)=n1,r(A)=n-10,r(A)

5、组的解：定理：对于n元线性方程组AX=bi.无解的充要条件：R(A)

6、1…1+…+C1-b1.n-r…-br.n-r0…1+d1…dr0…n其中C1…Cn-r为任意常数例2：求解齐次线性方程组：X1+2X2+2X3+X4=02X1+X2-2X3-2X4=0X1-X2-4X3-3X4=0解：对系数矩阵A施行初等行变换化为最简行矩阵A=-2-21-1-4-3～10-2-000即得与原方程组同解的方程组X1-2X2-5/3X4=0X1=2X3+5/3X4X2+2X3+4/3X4=0X2=-2X3-4/3X4(X3，X4可任意取值)令X3=C1，X4=C2，故通解X1X2X3X4=2C1+53C2-2C1-43C2C1C2=C12-210

7、+C253-4301(其中C1,C2为任意常数)例3求解非齐次线性方程组X1+X2-3X3-X4=13X1-X2-3X3+4X4=4X1+5X2-9X3-8X4=0解：对增广矩阵B进行初等行变换化为最简形B=11-3-113-1-34415-9-80～10--32-74-而得：X1=32X3-34X4+54X2=32X3+74X4-14X3=X3X4=X4进而X1X2X3X4=C+C2-+54-1400(其中C1,C2∈R)例4：设有线性方程组：(1+λ)X1+X2+X3=0X1+(1+λ)X2+X3=3X1+X2+(1+λ)X3=λ问：λ取何值时，此方程组(1

8、)有唯一解(2)无解(3