考研高数讲义高数第五章定积分上课资料.doc

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1、第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、两个引例引例1求曲边梯形的面积求由曲线及直线，，轴所围成的图形（曲边梯形）的面积。（1）分割（化整为零）在内插入个分点，即:则被分为个小区间，记其长度为:过每一分点作平行于轴的直线将曲边梯形分为个小曲边梯形。（2）取近似(不变代变)在每个小区间上任取一点，则第个小曲边梯形的面积：即：一宽为，高为的矩形面积（3）求和(积零为整)将个小曲边梯形面积的近似值相加得曲边梯形面积之近似值：（4）取极限(无限逼近)设即小区间的最大宽度，则：引例2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间段内对的连续函数，

2、且．求在时间段内物体经过的路程。（1）分割（化整为零）（2）取近似(不变代变)（3）求和(积零为整)（4）取极限(无限逼近)二、定积分1、定积分的定义：设函数在上有界，在中任意插入个分点，，将分为个小区间,记其长度为,；在每个小区间上任取作乘积；再作和，设，；若当时，的极限总存在，则称在上可积,称此极限为在上的定积分，记为：即：其中：：积分号；：积分和；：积分区间：积分下限；：积分上限；：积分变量；：被积表达式【例1】【答案】2、可积条件定理1：设在上连续，则在上可积。定理2：设在上有界且仅有限个间断点，则在上可积。3、几何意义：由曲线及直线

3、，，轴所围成的图形的面积的代数和。【例2】（97一二）设在区间上函数，，.令，，，则（）(A).(B).(C).(D).【答案】（B）【例3】.【答案】4、定积分的性质规定：1）时，=02）性质1：性质2：（为常数）性质3：。实际上，这里的可以为常数，即可在之内或之外性质4:若，则性质5:若在上，则推论1:若在上，则推论2：【例4】（03二）设则（A）（B）（C）（D）【答案】（B）性质6（估值定理）：设在上，则性质7（定积分中值定理）：若在上连续，则至少一点使得：【例5】（91一）设函数在上连续，内可导，且，证明：在内存在一点，使.【相似练

4、习】（96三）设在上连续，在内可导，且.求证：在内至少存在一点，使.第二节微积分学基本定理一、积分上限函数及其导数积分上限函数：，。性质定理1：若在上可积，则在上连续。性质定理2：若在上连续，则在上可导，且它的导数是：性质定理3：若在上连续，则是的一个原函数。（原函数存在定理）该定理说明：（1）连续函数必有原函数；（2）（3）连续，则【例1】（92三）设，其中为连续函数，则等于（）（A）.（B）.（C）.（D）不存在.【答案】（B）【例2】（90一）设是连续函数，且，则等于（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答案】（A）【例3】（95一）.

5、【答案】【例4】（93一二）设，则函数的单调减少区间是.【答案】【例5】（93一）设，，则当时，是的（）（A）等价无穷小.（B）同阶但非等价的无穷小.（C）高阶无穷小.（D）低阶无穷小.【答案】（B）【例6】（96一）设有连续导数，，，，且当时，与是同阶无穷小，则等于（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【答案】（C）二、牛顿—莱布尼兹公式微积分学基本定理：若为连续函数在上的一个原函数，则【例1】求下列定积分（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【例2】（89一二）设是连续函数，且，则.【答案】【相似练习】设为连续函数，且满足

6、则【答案】第三节定积分的计算方法一、换元积分法定积分换元法公式：，其中，，。注：（1）“换元三换”（2）换元后求出原函数不必再换回原来的变量【例1】求下列定积分（1）；（2）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（3）；（4）【例2】（90二）.【答案】【例3】（91二）计算.【答案】【例4】（91二）设函数在内满足且，，计算.【答案】【例5】（87一二）设为已知连续函数，，其中，，则的值（）（A）依赖于和.（B）依赖于，，.（C）依赖于和，不依赖于.（D）依赖于，不依赖于.【答案】（D）【例6】（92一）求，其中为已知的连续函数.【

7、答案】【例7】（94三）设函数可导，且，，求.【答案】【例8】已知在的某邻域内二阶连续可导，且，则（）(A)为的极小值点(B)为的极大值点(C)为曲线的拐点(D)不是的极值点，也不是曲线的拐点【答案】（C）【例9】设为奇函数，且当时，，，令，判别在上的凹凸性。【答案】在上是凸的二、定积分的分部积分法分部积分法公式：【例10】求下列定积分（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【例11】（90一）求.【答案】【例12】（93二）求.【答案】【例13】（88二）.【答案】二、奇偶函数和周期函数的积分性质1、奇偶函数的积分性质（1）变限积分：（2）原

8、函数：奇函数的原函数都是偶函数，偶函数的原函数中有一个为奇函数，其余的为非奇非偶函数。（3）定积分：【例14】（87一）计算定积分【答案】【例15】（94一二）设，