[院校资料]高数定积分习题

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1、第6章定积分第6章定积分§6.1定积分的概念与性质1．概念定积分表示一个和式的极限其中：，；；几何意义：表示，，，所围曲边梯形面积的代数和可积的必要条件：在区间上有界可积的充分条件：（可积函数类）（1）若在上连续，则必存在；（2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则必存在；（3）若在上单调、有界，则必存在。2.性质（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）若，，则推论1：若，，则推论2：（7）若，，则（8）若在上连续，在上不变号，存在一点243第6章定积分特别地，若，则至少存在一点，或，使得（9）若在

2、上连续，则其原函数可导，且（10）若在上连续，且，则§6.2定积分的计算1.换元法2.分部法，或3.常用公式（1）（2），其中，为连续偶函数（3），其中（4）（5）243第6章定积分（6）（7）（8）（9）（10）§6.3广义积分1.无限区间的积分（无穷积分）（1）定义与性质，若极限存在，则原积分收敛；，若极限存在，则原积分收敛；，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛；，，，具有相同敛散性；，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设，则比较法的极限形式：243第6章定积分设，则柯西审敛法：设，则特别地，

3、绝对收敛与条件收敛：2.无界函数的积分（瑕积分）（1）定义与性质（），若极限存在，则原积分收敛；（），若极限存在，则原积分收敛；（），两积分都收敛，原积分才收敛；，，具有相同敛散性；，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设非负，且，若，则比较法的极限形式：若，则柯西审敛法：若，或，则243第6章定积分特别地，§6.5典型例题解析1．变限积分的求导与应用解题思路（1）利用公式（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无

4、关。利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。例1求下列函数的导数（1）；（2）；（5），求；（6）设，其中具有二阶导数，且，求（1）解令，当时，；当时，.,（2）解令，当时，；当时，.;（5）解（6）解，习题（3）；（4）243第6章定积分例2设，求（1）将的极大值用表示出来；（2）将（1）的看作的函数，求为极小值时的值。解（1），，令，得当时，，极大值为当时，，极大值为（2）当时，令，得，，故时，为极小值；当时，，单调下降，无极值。2．利用定积分定义求和式的极限解题思路若将积分区间等分，，取，则例3求

5、下列极限（1）解法1其中，将等分，，解法2其中：将等分，，（2）243第6章定积分解法1由于且；故由夹逼定理知原式解法2由于，则（4），其中连续，并求解原式习题（3）3.利用定积分的性质求极限解题思路（1）若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解；（2）若极限含变限积分，可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。例4求下列极限（1）243第6章定积分解法1，解法2由定积分的第一中值定理有，（2）解由于，则例5设在上连续，且，求解法1由于在上连续

6、，必有，则解法2由定积分的第一中值定理有，例6确定常数的值，使解由于243第6章定积分，例7设，，求解5．利用换元法求定积分解题思路（1）计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。（2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解；（3）若被积函数含，，，分别令，，；（4）作变量代换时须相应改变积分限。一般地，积分区间为，令；积分区间为，令。（5）被积函数为，或型积分变量代换条件：积分上下限不变或换位，变换前后形式为；或例12求下列定积分（1）；（2）；（5）；（6）（1）解243第6章定积

7、分（2）解令，，，；，（5）解法1令，，；，解法2利用公式求解（6）解令，，；，例13求下列定积分（1）；（2）243第6章定积分（1）解法1令，，；，解法2利用公式（2）解令，，；，习题（3）（4）（4）解令，则6．利用分部法求定积分解题思路一般计算方法与不定积分分部法类似。（1）若被积函数含，，将，取作，其余部分取作；（2）若被积函数含变限积分，将变限积分取作，其余部分取作243第6章定积分；或将原积分化为二重积分，再改变积分次序求解。例14求下列定积分（1）；（2）；（5）设在上二阶连续可微，求（1

8、）解（2）解因为所以（5）解习题（3）；（4）例15求下列定积分（1）设，求解法1243第6章定积分解法2（3）设在上连续，且，求解法1由于，则解法2习题（2）设，求7．利用公式求定积分解题思路利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解例16求下列定积分（1）；（2）；（3）；（1）解243第6章定积分其中，（2）解令，，则其中，令，（3）解法1解法2由于，则习题（4），为任意实数8．利用积分区间的对称性计