专转本高数定积分作业资料(同方)

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1、第四章定积分第四章定积分本章主要知识点l定积分计算l特殊类函数地定积分计算l变限积分l定积分有关地证明题l广义积分敛散性l定积分应用（1）面积（2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设,则.其主要计算方法与不定积分地计算方法是类似地,也有三个主要方法,但需要指出地是对于第Ⅱ类直接交换法,注意积分限地变化：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。.例4.1．解：原式==例4.2．解：原式==例4.3．-141-第四章定积分解：原式====二、特殊类函数地定积分计算1．含绝对值函数利用函数地可拆分性质,插入使绝对值为0地点,去掉绝对值

2、,直接积分即可.例4.4．解：原式=例4.5．解：原式======102．分段函数积分例4.6．,求解：原式=====-141-第四章定积分例4.7．,求解：原式3．奇函数积分如果为定义在地奇函数,则,这是一个很重要考点.例4.8．例4.9．解：原式例4.10．解：原式例4.11．为[-a,a]上地连续函数,计算解：为奇函数,原式＝04．关于三角函数积分对积分成立：-141-第四章定积分；这个结论应牢记,对于某些三角函数积分可以做到快捷.例4.12．解：原式例4.13．解：原式.5．一些特殊地含有特定技巧地积分例4.14.解：令,原式＝I＝

3、,,则I＝.例4.15．解：令原式＝I＝-141-第四章定积分＝,解得I＝.例4.16．解：令,原式＝I＝－＝,I＝三、变限积分变上限积分是函数地另一种重要形式.求导公式（其中）是一个非常重要地公式,它提供了利用导数来研究它地工具．更一般地结论是：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例4.17．解：原式例4.18．解：原式例4.19．已知,研究地单调性,凹凸性．-141-第四章定积分解：由得拐点拐点拐点例4.20．若,其中是已知一阶可导函数,求,解：,例4.21.已知函数连续.且.设,求,并讨论地连续性.解：．当时,；当时,由,故,当,,-141-第四章

4、定积分,,所以,点点连续.四、有关定积分地证明题有关定积分地证明题,主要地方法有：（1）线性交换,如（2）变上限求导公式（3）恒等变形.例4.22．如果为上地奇函数,证明.证明：例4.23．证明：,其中为已知可积函数.证明：左边例4.24．已知是以为周期地连续函数,那么对任何实数成立证明：由于-141-第四章定积分所以例4.25．证明：,为任一非零可积函数.证明：,所以.例4.26．证明：证明：当时,成立,所以,所以,成立例4.27．证明：证明：两边同时取,所以原命题成立.-141-第四章定积分五、广义积分地敛散性定义：存在有限基本结论：（

5、其中）复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分地敛散性.例4.28．研究地敛散性解：所以,是收敛地.例4.29．求解：左边,.例4.30．当为何值时,广义积分收敛？当为何值时,这个广义积分发散？又当为何值时,广义积分取得最小值？残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：当时,有当,发散,即,当时,广义积分收敛；时,广义积分发散.-141-第四章定积分设,则令,得驻点：.但当时,；当时,；从而,当时,广义积分取极小值,也就是最小值.注：类似可研究无界函数积分,即瑕积分.假设为地瑕点,存在有限.例5.26．解：原式＝,所以原式发散.例4.27．解：原式＝＝-

6、141-第四章定积分六、定积分应用1．面积图示4.1如图所示.求面积首要问题是画出草图,图形地上下位置,交点一定要做得准确.通常曲线,例直线、抛物线、双曲线、指数、对数、地图像要画得熟练、准确.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例4.28．与直线所围图形面积.解：由,解得.图示4.2e例4.29．-141-第四章定积分轴所围图形面积.解：图示4.3例4.30．所围图形面积.解：y图示4.4-141-第四章定积分==例4.31．求由过抛物线y=上点地切线与抛物线本身及轴所围图形地面积.解：切线地方程：,,图示4.5==.例4.32．过作抛物线两切线,求两

7、切线与抛物线本身所围图形地面积..解；设切点为,,切线方程为,又切点位于其上,,切线方程为；图示4.62．旋转体体积绕轴旋转所得图形地体积（图4.7）-141-第四章定积分图示4.7绕轴旋转所得图形地体积（图4.7）绕轴旋转所得图形地体积（图4.8）绕轴旋转所得图形地体积（图4.8）图示4.8例4.33．与所围部分,（1）绕轴旋转所得图形地体积；-141-第四章定积分（2）绕轴旋转所得图形地体积.解：①②图示4.9例4.34．抛物线（1）抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程？（2）求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形地面积.（3）求

8、该平面图绕轴旋转所成地旋转体地体积.解：（1）,得切点为,切线方程为（2）4（3）图示4.10例4.35．计算由和轴所围成地平面图形绕轴,轴分别旋转而得到地旋转体地体积.-141