2013专转本高数常微分方程复习资料(同方).doc

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1、第五章常微分方程第五章常微分方程（简记ODE）本章主要知识点l可分离变量的ODEl一阶线性非齐次常微分方程及推广l二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程l一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法基本型：基本解法：例5.1．解：通解为：将得：得例5.2．解：，-159-第五章常微分方程得：例5.3．解：，得：例5.4．已知满足，求。解：由知。方程两边对求导得，分离变量求得，将代入得，。2．可转化的可分离变量的齐次方程方法：令。例5.5．解：令-159-第五章常微分方程，将代入即可。例5.6．解：，令即，，将代入即可。二、一阶线性齐次方程（ODE）1

2、．基本型公式公式：注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。例5.7．解：，其中。-159-第五章常微分方程，由公式得，。例5.8．解：，将代入得，，。2．Bernoulli方程方法：令，方程可简化为例5.9．解：令，则，得-159-第五章常微分方程，故，例5.10．解：令，代入即得：即三、二阶常系数线性ODE1．齐次方程，其中为常数。求解步骤：1）特征方程，求根。2）互异实根，，，；，。其中为任意实数。例5.11．解：得=4，-1，-159-第五章常微分方程（其中为任意实数）例5.12．解：，例5.13．解：，。例5.14．解：，，。2．非

3、齐次方程其中，表示次多项式。解结构：齐次方程通解特解。特解形式设定如下：（1）识别；（2）计算，和特征根相等个数，。（3）特解可设为，其中为次多项式。注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。例5.15．解：（１），，，-159-第五章常微分方程齐次通解（２），，，又设，代入原方程得，。例5.16．解：（１），（２），，，可设计算得：代入原方程得，，。-159-第五章常微分方程例5.17．解：（１），（２）的特解，，，，。又设代入原方程得解得；（3）的特解可设，代入得，D＝，。综合得。例5.18．设其中为连续函数，求的具体表达式。解：原式两边求导得：再

4、求导得：，即且（1）-159-第五章常微分方程（2）设特解为代入原方程得。。由条件得，四、特殊类方程（1）,等方法：直接积分例5.19．解：积分，再积分，（2）不显含方法：令，则，则得到，降为一阶方程例5.20．解：令，，如果，则，-159-第五章常微分方程或分离积分法如果，那么（其包含在上述解之中）方程通解（其中,为任意实数）。单元练习题51．下列微分方程哪一个是线性的（　　）(A)(B)(C)(D)2．方程，它是阶微分方程。3．方程的通解是。4．方程的特解可设为。5．求解下列常微分方程：-159-第五章常微分方程6．求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线

5、斜率等于，并且曲线通过原点。7．设曲线上任一点处切线与直线垂直，求这个曲线的方程8．一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9．设，为连续函数。求。10．设处处可导，且并对任意实数x和y有求.11．有连结A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP之间的面积为。求该曲线方程。历年真考题1．（2001）微分方程的通解为：。2．（2001）求微分方程，满足初始条件的特解。3．（2002）微分方程的通解是（）A.B.C.

6、D.4．（2002）设满足微分方程，且，则。5．（2002）求，满足的解。6．（2003）满足的解是（）A.B.C.D.7．（2003）解微分方程的通解。8．（2004）微分方程的特解的形式应为-159-第五章常微分方程A.B.C.D.9．（2004）设函数可导，且满足方程，求。10．（2005）求微分方程满足初始条件的特解。本章测试题1．微分方程的阶数。2．的通解是。3．的特解形如。4．微分方程的通解是（）Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．　　5．6．7．（1）（2）8．设为连续函数且满足。求。9．已知是的解。（1）求p,q（2）写出该方程的通解；并求满足条件的特解

7、。单元练习题5答案1．C2．二阶　　3．4．-159-第五章常微分方程5.(1)解：。(2)。(3)令，即。(4)。(5)，将代入，（6）令-159-第五章常微分方程，，。即，为任意常数（7）令若，即（不合定解条件）若，，将，，代入，代入，得，即（8）解：（1）-159-第五章常微分方程齐次方程通解，，又设代入原方程得得到：。（9）解：（1）齐次方程通解。（2），可设，得到，6．解：且，即，-159-第五章常微分方程，，由得所以7．设原曲线的方程为则即8．设左边绳x处在t时刻滑过钉子，此时，且满足定解条件，解得：令得到解得：。9．10．令得f(0)=0＝即

8、，解得。11．设曲线方程为，则梯形OAPQ的面积，依题意得：-15