第5讲空间中的垂直关系.doc

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1、第5讲　空间中的垂直关系【2013年高考会这样考】1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．【复习指导】1．垂直是立体几何的必考知识点，且几乎每年都有一道解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好

2、三基：基础知识，基本方法，基本能力．2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．　　基础梳理1．两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．(2)判定直线与平面垂直的方法①定义法②利用直线与平面垂直的判

3、定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(3)直线与平面垂直的性质①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直平面，则垂直平面内的任意一条直线．③垂直同一直线的两平面平行．3．直线和平面所成的角(1)直线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角(2)范围：[0，]4．二面角的概念(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半

4、平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)范围：[0，π]5．两个平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．(2)性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．一个关系垂直问题的转化关系三类证法(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)证明线

5、面垂直的方法①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；②判定定理1：⇒l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.双基自测1．(人教B版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面

6、α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直解析　由直线与平面垂直的定义，可知D正确．答案　D2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是(　　)．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析　选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．答案　D3．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同

7、的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是(　　)．A．①②B．②③C．①④D．③④解析　由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．答案　C4．(2011·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是(　　)．A.⇒c⊥βB.⇒

8、b⊥cC.⇒c∥αD.⇒b⊥α解析　由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：b∥α，b⊂α，b与α相交，所以D不正确．答案　D5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析　由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案　4　　考向一　直线与平面垂直的