学案5 空间中的垂直关系

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1、学案5空间中的垂直关系空间中的垂直关系以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力.2.考查线面角、面面角的方法，考查作图、证明、计算空间想像能力和推理论证能力。3.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向.1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们

2、就说直线l与平面α互相垂直，记作.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.根据定义，过一点直线与已知平面垂直；过一点与已知直线垂直.l⊥α有且只有一条有且只有一个平面2.判定定理和性质定理（1）判定定理：，则该直线与此平面垂直.（2）性质定理：.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直垂直于同一个平面的两条直线平行判定性质图形条件(b为a内的任一条直线)结论3.直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面α相交，，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，

3、过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行,或在平面内，我们说它们所成的角是的角.4.二面角但不和这个平面垂直射影所成的锐角直角0°从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.5.两个平面垂直的定义一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作.6.两个平面垂直的判定与性质（1）判定定

4、理，则这两个平面垂直.分别作垂直于棱的两条射线直二面角α⊥β一个平面过另一个平面的垂线（2）性质定理两个平面垂直，则一个平面内与另一个平面垂直.垂直于交线的直线判定性质图形条件直二面角结论如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.考点1线线垂直问题【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故图中有四个直角三角

5、形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.证明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.

6、(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求证：MN⊥平面PCD.考点2线面垂直【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.【证明】(1)如图,连接A

7、C，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为P

8、C的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC