第11讲-空间中垂直关系的判定与性质.doc

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1、空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言符号语言图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直

2、线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB－β，也可记作2∠α—AB—β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理文字语言符号语言图形语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β4.直线与平面垂

3、直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b5.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒a⊥β二．典例精析题型一：线面垂直的判定例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且S为所在平面外一点，满足SA＝SB＝SC.D为AC的中点．求证：SD⊥平面ABC.证明：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，且D为AC的中点，∴BD＝AD＝DC.又∵SA＝SB＝SC，SD为公共边，∴

4、△SBD≌△SAD≌△SCD，∴∠SDB＝∠SDA＝∠SCD＝90°，∴SD⊥AD，SD⊥BD，∵AD∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.变式训练1：如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA⊥⊙O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：BC⊥平面PAC.证明：因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别为AB，AC，AD，BC的

5、中点．求证：平面EHG⊥平面FHG.证明：如图，取CD的中点M，连接HM，MG，FM，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM交HG于O，连接FO.在△FHG中，O为HG的中点，且FH＝FG，所以FO⊥HG.同理可证FO⊥EM.又HG∩EM＝O，所以FO⊥平面EHMG.又FO平面FHG，所以平面EHG⊥平面FHG.变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．:求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴

6、BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)存在点E使

7、得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面PAC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC.∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．变式训练3：如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，求二面角P—BC—A的大小．解：∵PA⊥平面ABC，BC平面AB

8、C，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又PC平面PAC，∴BC⊥PC.又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝，BC＝，∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝.∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝，∴∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E