第2讲 空间中的平行与垂直.doc

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1、第2讲　空间中的平行与垂直【高考考情解读】　高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理⇒a∥α线面平行的性质定理⇒a∥b线面垂直的判定定理⇒l⊥α线面垂直的性质定理⇒a∥b2．面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定

2、理⇒α⊥β面面垂直的性质定理⇒a⊥β面面平行的判定定理⇒α∥β面面平行的性质定理⇒a∥b提醒　使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可．3．平行关系及垂直关系的转化示意图考点一　空间线面位置关系的判断例1　(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A

3、．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案　(1)B　(2)B解析　(1)对于A，直线l1与l3可能异面、相交；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B.(2)A中直线l可能在平面α内；C与D中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B正确．解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情

4、况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．(1)(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．

5、存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案　(1)D　(2)D解析　(1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．(2)若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.考点二　线线、线面的位置关系例2　如图，在四棱锥P—A

6、BCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：EC∥平面PAB.证明　(1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.(2)方法一　如图，取AD的中点M，连接EM，CM.则EM∥PA.∵EM⊄平

7、面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM，∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB.方法二　如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN.∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD的中点，∴EC∥PN.∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB.(1)立体几何中，要证线垂直于线，常

8、常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1