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时间:2018-11-29
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1、第2讲 空间中的平行、垂直及夹角(建议用时:50分钟)一、选择题1.(2013·安徽卷)在下列命题中,不是公理的是( ).A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析 选项A是面面平行的性质定理.答案 A2.(2014·济南模拟)已知两条直线a,b与两个平面α,β,b⊥α,则下列命题中正确的是( ).①若a∥α,则a⊥b;②若a⊥b,则a∥α;③若b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则b∥β.A.①③B.
2、②④C.①④D.②③解析 过直线a作平面γ使α∩γ=c,则a∥c,再根据b⊥α可得b⊥c,从而b⊥a,命题①是真命题;下面考虑命题③,由b⊥α,b⊥β,可得α∥β,命题③为真命题.故正确选项为A.答案 A3.(2014·辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ).A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析 法一 若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,A错;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α
3、,C错;若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也可能n⊂α,D错;法二 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.A项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,n∥α,但m与n是相交直线,故A错.B项中,m⊥α,n⊂α,∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.C项中,若m为AA′,n为AB,满足m⊥α,m⊥n,但n⊂α,故C错.D项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.答案 B4.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ).A.α⊥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥
4、βC.α⊥β,且m∥αD.m⊥n,且n∥β解析 根据定理、性质、结论逐个判断.因为α⊥β,m⊂α⇒可能平行、相交、m在β面内,故A错误;由线面垂直的性质定理可知B正确;若α⊥β,m∥α,则m,β的位置关系也不确定,故C错误;若m⊥n,n∥β,则m,β的位置关系也不确定,故D错误.答案 B5.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确的个数有( ).A.1B.2C.3D.4解析 ①中m,n可能异面或相
5、交,故不正确;②因为m∥α,n⊥β且α⊥β成立时,m,n两直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③因为m⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故选B.答案 B6.(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( ).A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l解析 假设α∥β,由m⊥平面α,n⊥平面β,则m∥n,这与已知m,n为异面直线矛盾,那么α与β相交,设交线为l1,则l1⊥m,l1⊥n
6、,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面,所以l1∥l.答案 D7.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在面ABC上的射影H必在( ).A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC的内部解析 ∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上,故选A.答案 A二、填空题8.设α和β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
7、②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).解析 由①知α内两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直线确定的平面α平行于平面β,故①为真命题;由线面平行的判定定理知,②为真命题;对于③,如图,α∩β=l,a⊂α,a⊥l,但不一定有α⊥
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