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1、第2章导数与微分1.1导数的概念1.2导数的运算1.3微分结束2.1.1引出导数概念的实例例1平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示,在曲线上任取两点和，作割线，割线的斜率为2.1导数的概念这里为割线MN的倾角，设是切线MT的倾角，当时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即当趋向于0时，如果极限设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q)，当产量Q从变到时，总成本相应地改变量为当产量从变到时，总成本的平均变化率存在，则称此极限是产量为时总成本的变化率。例2产品总成本的变化率定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，
2、属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为或2.1.2导数的概念导数定义与下面的形式等价：若y=f(x)在x=x0的导数存在，则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.三、左导数与右导数左导数:右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.三、导数的几何意义当自变量从变化到时，曲线y=f(
3、x)上的点由变到此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.M0M曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.M0M设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为(即法线平行y轴).当时,曲线在的法线方程为而当时,曲线在的法线方程为例3求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取
4、极限:同理可得:特别地,.例4求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:即2.1.4可导性与连续性的关系定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续.证因为f(x)在点x0处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系,可得:两端乘以得:由此可见:即函数y=f(x)在点x0处连续.证毕.例5证明函数在x=0处连续但不可导.证因为所以在x=0连续而即函数在x=0处左右导数不相等,从而在x=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连
5、续,连续不一定可导.设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2导数的运算特别地,如果可得公式注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则解：例2设解：例1解：即类似可得例3求y=tanx的导数解：即类似可得例4求y=secx的导数基本导数公式表2.2.2基本初等函数的导数解：例5定理二如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.3复合函数
6、的导数例7解：解：例6定理三如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有或证因为的反函数上式两边对x求导得或或2.2.4反函数的求导法则解：y=arcsinx是x=siny的反函数因此在对应的区间（-1，1）内有即同理求函数y=arcsinx的导数例81.隐函数的导数例9求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得2.2.5隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。即例10解：两边对x求导得解一例11两边对x求导，由链导法有解二称为对数求导法，可用
7、来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：解二解：将函数取自然对数得两边对x求导得例12且设均可导,具有单值连续反函数，则参数方程确定的函数可看成与复合而成的函数，根据求导法则有：求得y对x的导数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接此即参数方程所确定函数的求导公式2.参数方程所确定的函数的导数变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中t称为参数解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线t=1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为y=－x求曲线在t=1处的切线方程例13即或记作或二阶导数：如果函数
