极限与连续课件.ppt

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1、第二章极限与连续第一节极限的概念一、数列极限1.数列的概念定义1将自变量为正整数的函数un=f(n)的函数值按自变量n由小到大的顺序排成的一列数u1，u2，u3，…，un，…称为数列.记为{un}，其中un=f(n)为数列{un}的通项或一般项.由于一个数列{un}完全由其一般项un所确定，有时也将数列{un}简写成un.定义2对于数列{un}，若存在一个常数M>0，使得

2、un

3、≤M(n=1，2，…)恒成立，则称数列un为有界数列，或称数列有界.如果数列{un}有界，也可理解成存在两个数M和m，使得m≤un≤M，也称M为数列的上界，m为数列的

4、下界.定义3对于数列{un}，若数列的各项满足un≤un+1，则称数列{un}为单调增加的数列；若数列的各项满足un≥un+1，则称数列{un}为单调减少的数列.单调增加的数列或单调减少的数列统称为单调数列.2.数列的极限定义4对于数列{un}，当项数n无限增大时，如果数列un的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列{un}的极限存在，记为注意：并非所有的数列都有极限，如果当n→∞时，un无限接近的常数A不存在，则数列{un}的极限不存在.若极限不存在,又称数列发散.3.收敛数列的性质1、如果数列收敛，那么它的极限是唯一2

5、、如果数列收敛，那么数列一定有界3、如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，4、如果数列收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。二、函数的极限前面讨论了数列的极限，数列作为一种较为简单的特殊函数（整标函数），可以方便地观察其变化趋势.现在就一般函数y=f(x)的变化趋势进行讨论.上面定义中x→∞含有两种情况：（1）x取正值无限增大，记为x→+∞.（2）x取负值而绝对值无限增大，记为x→-∞.对于某些函数f(x)，自变量x的变化趋势只能或只需取这两种情形中的一种，对于这两种情形有：2.当时，函数的极限当自变量x无限趋近于某

6、个确定的数值x0时，函数f(x)的变化趋势也是我们经常遇到的问题.我们用x→x0表示x无限趋近于确定的数值x0，其几何意义则是数轴上的动点x到定点x0的距离越来越小，逐渐趋近于0.在这种情况下，由于只考虑函数f(x)的变化趋势，因此无论f(x)在x0处有无定义，都不影响我们的讨论.先考虑下面的例子.定义8设函数f(x)在x0的去心邻域内有定义，当x从x0的左右两侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的极限，记作定义9设函数f(x)在x0的去心邻域左侧（x0-d，x0）内有定义，

7、当x从x0的左侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的左极限，记作定义10设函数f(x)在x0的去心邻域右侧（x0，x0+d）内有定义，当x从x0的右侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的右极限，记作三、函数极限的性质以上讨论了函数极限的各种情形，并将数列的极限作为函数极限的一种特例来处理.它们描述的问题都是：在自变量的某个变化趋势下，函数值无限趋近于确定的常数，在有些方面它们具有一定的共性.下面给出函数极限的

8、上述性质.第二节极限的运算法则一、极限的四则运算法则在自变量x的同一变化趋势下，设函数f(x)和g(x)的极限都存在，分别用和表示.注意：此处省略了自变量x的变化趋势，表示在下面的讨论中，对于x→x0，x→x0-，x→x0+，x→∞，x→-∞，x→+∞中的任何一种情形，结论都成立（下同）.二、复合函数的极限运算法则第三节两个重要极限第四节无穷小量与无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的定义定义1若函数f(x)在x的某种变化过程中极限趋近于0，则称f(x)为在x的这种变化趋势下的无穷小量，简称无穷小.2.无穷小的性质性质1有限个无穷小量的代数和是无

9、穷小量.注意：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量.推论常数与无穷小量的乘积是无穷小量.性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.注意：两个无穷小的商未必是无穷小量.二、无穷大量定义2在自变量的某种变化趋势下，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为在x的这种变化趋势下的无穷大量，简称无穷大.三、无穷小量与无穷大量的关系根据无穷小量和无穷大量的定义，它们的关系可用下面的定理来描述：定理2在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量；恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量.使用无穷小量与无穷大

10、量的关系定理可以方便地讨论极限结果是无穷大量的情况.四、无穷小量的阶比较定义3设(x)与β(x)均为自变量在同一变化趋势下的无穷小.第五节函数的连续性一、函数连续