资源描述：
《《极限与连续》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章极限与连续1.定义2.1:按一定顺序排列的一列数a1,a2,…,an,…叫做一个数列,数列中的每一个数叫数列的项,第n项an叫数列的一般项或通项.简记为{an}.数列也可称作整标函数.因为数列an=f(n)可看成是定义在正整数集合上的函数.当自变量n按正整数1,2,3,…依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数:称为一个无穷数列,简称数列.例(一).数列的有关知识一.数列的极限第一讲极限的概念从以上几例可以看出,随着n逐渐增大时,数列有着各自的变化趋势.当n无限增大时,数列(1)、(5)“无限接近”数0;数列(2)、(6)、(7)“无限接近”数1;数列(3)“
2、无限增大”;数列(4)在数0和1间摆动.在几何上,{an}表示数轴上一列点,也可以把(n,an)看成平面上的点.••••••¼o½1数列on1•••••no••1–1•••••数列on11•2••••••••••–11oo•••••结论当n无限增大时,数列的变化趋势有三种情形：an无限增大;an的变化趋势不定;an“无限接近”某个常数A.此时我们说数列{an}当n无限增大时,以常数A为极限.这便是数列极限的直观描述.on11••••数列0••1(二)、数列极限的直观描述1.直观描述:对于数列，如果当n无限增大时,无限接近于一个确定的常数，则称数列收敛于，或称当趋于无穷大时，数列
3、以为极限。记作否则，称数列发散。2.上面数列(1),(5)和(6)收敛于0;数列(2),(7)收敛于1;数列(3),(4)发散.3、举例例1判断下列数列极限2、3、4、解：1、2、3、不存在不存在4、注意:(1)关于”n”无限增大”，所谓无限增大当然是想要多大就有多大，因此有限数列没有极限；另外，无限增大我们还很在乎“增大”，例如1，2，…，100000，1/100000，2/100000，3/100000，….1，1，1，1，….1001，1002，1003，1004，…不管前面的有限项如何，只看后面的无穷项。即不管给一个多么大的N或多么小的N，只要n>N后，有f(n)与A无
4、限接近就行了(2)关于“无限接近”：当然是指an与的距离是越来越小，<ε都成立要有多小就有多小，换句话说，随便给一个多么小的正数ε，(3)“一个确定的常数”表明数列的极限是唯一的.(三)、数列极限的ε—N定义通过上面的讨论，我们可以用数学语言把它叙述出来：，如果任意给定的正数ε，时，<ε恒成立，则称数列当趋于无穷大时，以常数为极限。定义2.2:对于数列也称数列收敛于A.记否则，称数列发散。总存在一个正整数N，当因不等式
5、an-A
6、<ε(n>N)可改写成A-εN),则几何意义若把an看成数轴上的点,在数轴上任意取定A的ε邻域,aN以后的所有点都落在A的ε邻域内
7、.••••••••A+εAA–ε••(2)若把(n,an)看成平面上的点,在平面上取两直线y=A–ε和y=A+ε;当n>N时,所有点(n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图•••••••••••••••••••••••••••••••••A–εA+εANno例2利用定义证明证明：要使，只须故：任给，总存在，当时，恒成立，因此得证。例3证明事实上：任给恒成立得证。(C为常数)故数列极限是考察数列在n→∞这一过程中的变化总趋势(即有无极限).而对于函数y=ƒ(x),当考察它的变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况,如x→∞,x→-∞,x→0,x→x0+,x→x0-等
8、.二.函数的极限如图ooxxyyooxxy由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必要分情况考察.(一).x→＋∞时函数ƒ(x)的极限1.直观描述：对函数ƒ(x),当x取正值无限增大时(即x→＋∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→＋∞时的极限.注：函数y=ƒ(x)当x→+∞时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形).2.函数(“ε—M”)定义仿数列“ε—N”定义有如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数，当时恒成立，则称当时，函数的极限为。例如记作
9、不存在及y=A+ε.则总存在区(M,+∞),可作两条直线y=A–ε几何意义oxyA+εAA–εMy=ƒ(x)当时，对应的函数曲线介于这两条直线之间(二)、时f(x)的极限1.直观描述:对函数ƒ(x),当x取负值而绝对值无限增大时(即x→－∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→－∞时的极限.2.函数(“ε—M”)定义设函数ƒ(x),当x<–a时有定义.使得当x<–M时,
10、ƒ(x)–A
11、<ε恒成立.则称函数ƒ(x)当x→∞时以A为极限.例如几何意义如右图.oxyA+εA–
