连续与极限ppt课件.ppt

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1、第二章极限与连续§2.4函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点三、连续函数的性质四、闭区间上连续函数性质五、小结一、函数的连续性1.函数的增量1/9/5.12.连续的定义设f(x)在的某邻域内有定义,当时,有,即,则称f(x)在点连续.亦即2/9/5.13.连续定义说明(1)先有增量,后有增量,二者可正可负;(2)时的极限与f(x)在点连续的关系:连续;不连续;(3)连续的“”定义:(比较极限、连续两定义的异同)3/9/5.1例1证由定义知4/9/5.1（无穷小量乘以有界量）4.单侧连续5.单侧连续说明(1)左连续即;(2)右连续即;(3)不存在时,单侧连续性也不存在;(

2、4)f(x)在连续.5/9/5.1例2解右连续但不左连续,6/9/5.16.函数在区间上连续在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.比如,等函数在(-∞,+∞)内连续.7/9/5.1例3证当x0时,由于无穷小量与有界量之积还是无穷小量,当x0时,有y0.8/9/5.1连续点处的要求:Ex1:研究函数在点处的连续性:(3)成立以下等式:(1)在处有确定的函数值;(2)时,函数的极限存在;当以上等式不满足时就出现间断。9/9/5.1二、函数的间断点(以上3条是我们证明连续的主要依据)1/1

3、1/5.2例4f(x)在连续1.可去间断点2/11/5.2解x=1为函数的可去间断点.3/11/5.2例52.跳跃间断点是f(x)的跳跃间断点.解在处有或者没有确定的函数值,但4/11/5.2如例4中,可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.特点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.5/11/5.23.第二类间断点例6解6/11/5.2所以，x=0为函数的第二类间断点。这种情况称为无穷间断点。例7解说明:(1)无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点;(2)函数的间断点可能有限,也可能有无穷多个.7/11/5.2Dirichlet(狄利克雷)函数

4、在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★8/11/5.2在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:9/11/5.2例8解10/11/5.2Ex5:指出函数间断点类型:Ex4:指出a为何值时,函数f(x)在[0,4]内连续:(无穷,跳跃,可去间断点)(无穷,跳跃间断点)。11/11/5.2三、连续函数的性质1.四则运算性质(定理1)2.复合函数性质(定理2)3.反函数性质(定理3)4.几点结论(1)连续函数的四则运算和复合函数都是连续函数;(2)严格单调的连续函数的反函数也是严格单调的连续函数;(3)基本

5、初等函数在其定义域内都是连续函数;(4)初等函数在其有定义的任何区间上连续;1/3/5.3例9解2同理可得(5)连续的复合函数“lim”与“f”可交换:解1等价无穷小代换:利用连续复合函数性质2/3/5.3例10例11解解(6)函数在连续点处求极限的方法直接代入法。3/3/5.3四、闭区间上连续函数性质(三个性质、一个定理)1.最大值、最小值定义2.最值性(定理4)3.有界性:闭区间上连续函数一定有界;4.介值性(定理5,以下说明两点)(1)c介于端点值f(a)和f(b)之间时,有使;(2)d介于最值M和m之间时,也有使1/5/5.45.零点定理如果f(x)在[a,b]上连续,

6、且,则至少存在一点,使得.6.三点说明(1)以上性质和定理仅从理论上给出结论,没有给出具体的取值和计算方法;(2)介值性中的开区间、闭区间有别;(3)零点定理常用于判断方程根的存在性,但没有给出求根的具体方法.2/5/5.4例12证由零点定理,证明方法小结:(1)构造函数f(x);(2)判断f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0;(3)由零点定理得出结论.3/5/5.4例13证由零点定理,4/5/5.4Ex6:1.设在上连续,,且满足,证明:至少存在一点,使得;2.证明在之间至少有两个根;3.证明方程在之间有根;4.设在上连续(a>0),且,证明:在内至少有一实根。

7、5/5/5.4五、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)4.连续函数的性质(三个定理);5.闭区间上连续函数的三个性质、一个定理.1/2/5.5可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx2/2/5.5