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1、第二章极限与连续§2.1数列的极限§2.2函数的极限§2.3无穷小量与无穷大量§2.4连续函数1第二章极限与连续第二章极限与连续2一、问题的提出二、数列极限的定义三、数列极限的运算法则四、收敛数列的性质五、数列收敛的准则§2.1数列的极限第二章极限与连续3一、问题的提出定义按自然数顺序排列的一列数y1,y2,…,yn,…称为一个无穷数列，简称数列，记作{yn}；yn称为数列的通项.1.数列对应于数轴上的点列(一动点在数轴上依次取值).注:2.数列可视作整标函数：f:n→yn.例.第二章极限与连续4庄子言“一尺之
2、棰，日取其半，万世不竭也”问题一:观察当n不断增大时的变化趋势;观察当n不断增大时的变化趋势文字描述：当n无限增大时,yn无限接近某定数.NN第二章极限与连续5问题二:能否用数学语言刻画“当n无限增大,yn无限接近A”?以为例，用ε(>0)刻画yn与1的接近程度，则对于只要有对于只要有对于只要有……概括起来，第二章极限与连续6二、数列极限的定义1.ε刻画yn与A的接近程度，N刻画n充分大的程度；注:ε具有任意性，N的存在常依赖于ε.定义对于数列{yn},若存在数A使得则称{yn}当n→∞收敛于A或以A为极限，若
3、{yn}不收敛(无极限)，则称其发散.记作2.考察数列极限，只关心n充分大时数列的趋势.了解第二章极限与连续72)1)注:1.用定义证明：设从解出n的范围；2.用定义只能验证极限，不能求极限.4)证明3)证明按数列极限定义证明：例1第二章极限与连续8三、数列极限的运算法则(课本p.66§2.5)设则特别地，证明定理会应用第二章极限与连续9例3设函数，求极限(考研题)(上下同除以n3)例2求极限：注意:极限四则运算只适用于有限项运算，且各项极限存在!(先求括号内各项之和)第二章极限与连续10性质2（有界性）收敛的
4、数列必定有界.性质1（唯一性）收敛的数列只有一个极限.四、收敛数列的性质(课本p.60-62§2.2,§2.3)性质3（保号性）如果且了解性质4（保序性）设使得时，则。第二章极限与连续11五、数列收敛的准则(课本p.71§2.6)夹逼准则若数列{xn},{yn},{zn}满足：则数列{xn}收敛，且(可放宽至“n>N”)例4求下列极限：会应用第二章极限与连续12单调有界准则单调有界数列必收敛.2)*证明数列收敛.（课本p.75-76）1.单调、有界，两条件缺一不可；注:2.反过来，收敛数列必有界，但未必单调!例
5、51)*设,证明{xn}收敛并求极限.了解第二章极限与连续13§2.2函数的极限一、x→∞型的函数极限二、x→x0型的函数极限三、函数极限的运算法则四、函数收敛的性质与准则五、两个重要的函数极限定义对于U(+∞)上的函数f(x),若存在数A使得则称f(x)当x→+∞时收敛于A或以A为极限，1)证明例1第二章极限与连续14一、x→∞型的函数极限记作了解1.数列极限是其特殊情形.注:几何意义：2.观察函数图象特征可以确定某些极限.如第二章极限与连续15类似可定义:定理例12)记住结论了解第二章极限与连续16几何意义
6、：二、x→x0型的函数极限定义对于Uo(x0)上的函数f(x),若存在数A使得则称f(x)当x→x0时收敛于A或以A为极限，记作注意:与f(x0)无关！1)例22)证明了解第二章极限与连续17类似可定义:x→x0的左、右极限定理例3讨论下列函数当x→0时有无极限：记住结论了解定理(四则运算)设则第二章极限与连续18三、函数极限的运算法则（x→X:任意一类函数极限）会应用特别地，第二章极限与连续多项式函数求单点极限,只需计算函数值；有理分式函数(分母极限不为0)求单点极限,只需计算函数值；有理分式函数(分母→0)
7、求单点极限,约分去零因子有理分式函数求∞极限，必要时除以最大方幂例4计算下列极限:19有理化去零因子第二章极限与连续20性质1（唯一性）略四、函数收敛的性质与准则性质4（局部保序性）性质3（局部保号性）性质2（局部有界性）则(以x→x0型函数极限为例)了解第二章极限与连续21夹逼准则若函数f(x),g(x),h(x)满足：则(可放宽至“x∈U(X)”)例5证明：会应用设则，且令u=g(x)补充(变量替换)*会应用令u=1/x例:令u=x2第二章极限与连续23五、两个重要的函数极限1.证:同除以sinx得即而由夹
8、逼准则知先证令u=-x，则∴(如图记结论,会用第二章极限与连续24例6求下列极限：1)2)3)利用求极限:step1.找sin，step2.凑sin□/□.第二章极限与连续252.证明概要:设n≤x
