2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.5 定积分与微积分基本定理 Word版含解析.pdf

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1、4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y＝f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形，叫作函数y＝f(x)在区间[a，b]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲．3．定积分的概念设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点a＝x＜x＜x＜…＜012x＝b.n记小区间[x，x]为Δ，其长度x－x记作Δx，Δx中最大的记作d，再在每个小k－1kkkk－1kkn区间Δ上任

2、取一点代表点z，作和式：f(z)Δx.①kkkkk＝1如果(不论如何取分点x和代表点z)当d趋于0时和式①以S为极限，就说函数f(x)kkb在[a，b]上可积，并且说S是f(x)在[a，b]上的定积分，记作S＝f(x)dx.a4．微积分基本定理如果f(x)是在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可导并且F′(x)＝f(x)，b则f(t)dt＝F(b)－F(a)．a[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直

3、代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．bb3．由定积分的定义可知，f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx的值与哪些量aa有关？b提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、abbb下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.aaab4．如图所示，如何用阴影面积S，S，S

4、表示定积分f(x)dx的值？123ab提示：f(x)dx＝S－S＋S.123a利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：32(1)(4x－x2)dx;(2)(x－1)5dx；－11221(3)(t＋2)dx;(4)dx.xx＋111x3[自主解答](1)取F(x)＝2x2－，3因为F′(x)＝4x－x2，3所以(4x－x2)dx＝F(3)－F(－1)－133－1320＝2×32－－2×－12－＝.3331(2)因为6x－16′＝(x－1)5，2所以(x－1)5dx＝F(2)－F(1)1111＝

5、×(2－1)6－×(1－1)6＝.666(3)取F(x)＝(t＋2)x，因为F′(x)＝t＋2，2所以(t＋2)dx＝F(2)－F(1)1＝2(t＋2)－(t＋2)＝t＋2.111(4)f(x)＝＝－，xx＋1xx＋1x取F(x)＝lnx－ln(x＋1)＝ln，x＋111则F′(x)＝－.xx＋1212114所以dx＝－dx＝F(2)－F(1)＝ln.xx＋1xx＋1311运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对

6、于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．1．计算下列定积分：321(1)(3x2－2x＋1)dx；(2)x－dx；x－11π2(3)(sinx－cosx)dx；(4)

7、1－x

8、dx.00解：(1)取F(x)＝x3－x2＋x，则F′(x)＝3x2－2x＋1.3∴(3x2－2x＋1)dx＝F(3)－F(－1)＝24.－11(2)取F(x)＝x2－lnx，21则F′(x)＝x－.x213∴x－xdx＝F(2)－F(1)＝2－ln2.1(3)取F(x)＝－cosx－s

9、inx，则F′(x)＝sinx－cosx.π∴(sinx－cosx)dx＝F(π)－F(0)＝2.01－x，0＜x＜1，(4)∵

10、1－x

11、＝x－1，1＜x＜2，1∴取F(x)＝x－x2,0＜x＜1，121F(x)＝x2－x,1＜x＜2，22则F′(x)＝1－x，F′(x)＝x－1.122∴

12、1－x

13、dx＝F(1)－F(0)＋F(2)－F(1)＝1.11220利用定积分求参数1已知函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x)，0≤x≤1，求x的值．0000[自主解答]因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，a取F(x)＝x3＋cx，

14、3则F′(