高二数学选修2-2定积分与微积分基本定理

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1、定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数在区间上连续，分割用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），以直代曲在每个小区间上取一点，每份小曲边梯形的面积近似为求和：取极限如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区

2、间，积分上限，积分下限。思考定积分是一个常数还是个函数？即无限趋近的常数（时）称为，而不是．常见定积分曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功理解本来面积=底高路程=速度时间功=力位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和，再取极限。二．定积分的几何性质定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？求曲边梯形的面积：（两曲线所围面积）；典例题一、用定义计算定积分例1．计算定积分根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1；性

3、质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分的线性性质）；性质4（定积分对积分区间的可加性）；试从运算过程和几何性质两方面给予解释。说明：①推广：②推广:三、微积分基本定理思考：微积分与导数都应用了无限接近，求极限的方法，这两者之间有什么关系呢？设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），1、任意一刻的速度v(t)就是S(t)的导函数2、物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为，另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，那岂不是有=？对于一般函数，设，是否也有？用的原函数的数值差来计算在上的定

4、积分定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．典型题一、基本定积分的计算例1．计算下列定积分：（1）；（2）A变式练习1：计算已知t＞0，若（2x﹣2）dx=3，则t=（　　）　A．3B．2C．1D．3或﹣1分析：首先利用定积分求出关于t的方程，然后解一元二次方程求出t，注意t＞0．解答：解：由（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）

5、=t2﹣2t=3，解得t=3后者t=﹣1，因为t＞0；所以

6、t=3；故选A．A变式2cosxdx=（　　）　A．0B．1C．2D．3分析：直接利用定积分的运算法则求法求解即可．解答：解：cosxdx=sinx=1﹣0=1．故选：B．计算：=（　　）　A．2B．4C．8D．12考点：定积分．菁优网版权所有专题：导数的综合应用．分析：求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．解答：解：===4．A.变式3例6已知t＞0，若（2x-2）dx=8，则t=（　　）·已知（sinx-acosx）dx=2，则实数a等于（　　）B变式1sin2xdx=（　　）　A．0B．﹣C．D．﹣1分析：根据微积分基

7、本定理计算即可解答：解：sin2xdx=dx=（x﹣sin2x）=（﹣sinπ﹣0﹣0）=，故选：CB变式2cos2xdx=（　　）典型题二、分段函数的定积分例题已知函数，则的值为（　　）　A．B．4C．6D．分析：原式分解为x2在区间[﹣2，0]上的积分与x+1在区间[0，2]上的积分之和，再分别用积分公式求出它们的原函数，最后利用定积分的运算法则进行计算，即可得到原式的值．解答：解：==（x2+x+C1）+（+C2），（其中为C1、C2常数）=[（）﹣（）]+[（）﹣（）]=4+=故选DA变式1设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)A变式2四、

8、用定积分计算围成图形面积。例2．计算下列定积分：。由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时（图1.6一4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；(3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图1.6一5)，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．图形在

9、x轴下方时，定积分的值计算后加绝对值才等于曲边梯形面积。函数值如果有正有负，则计算定积分时应该分开算。【典型例题】用定积分