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《数学《定积分与微积分基本定理》教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、定积分与微积分基本定理一.教学内容：定积分与微积分基本定理二.教学目的：1.了解定积分的定义和定积分的儿何意义；2.会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。三.重点、难点：定积分的定义和定积分的儿何意义；微积分基本定理。［知识分析］知识点1：定积分的定义1.定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的.它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定枳分是由实际问题中提出的，对定枳分概念说明如下：（1）把闭区间5,6］用n+1个分点（包括两个端点x0=a,xn=b）分为任意n个小区
2、间，并非要求一定分成n等份，只是在有的问题屮，为了解题方便，才用n等分的方法去布列分点.£二Xj+Xi“（2）在每个小区间Axi±，点7的取法是任意的，它可以取在小区间的屮点，即'2,也可以収在小区间的两个端点，即©二或gi=Xi,还可以取在小区间的其他任何位置（i=i,2,…，n）.（3）从几何意义上讲，f（©）・°Xi（i=［,2,…，n）表示以为底边，以f（&）为高的第i个小矩形的面积，而不是第i个小曲边梯形的面积，和式z表示n个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式z可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似
3、程度也就越高.（4）总和若坯'）収极限时的极限过程为“°XiT°”（nToo）,当分割无限变细，即HTOO£fdi时，不一定能保证和式Z的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积.bn—1If（x）dx=limVAXj（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义山Ax"°i=o实际上给岀了（b定积分'af的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用.2.定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即［f（
4、x）dx=［3）如=［gg…（称为积分形式的不变性），另外定积分［f（x）dx与积分区间［a,b］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如J3+l)dx与J>+l)dx的值就不同。3.J""*、J」f(x)ldx、l［f(x)dx
5、的几何意义上有不同的含意，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间［a,b］上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在xfb轴的上下两侧，所以Jaf(x)dX表示由X轴、函数f(x)的曲线及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数rb和(如下图(1))；而被积
6、函数
7、f(x)l是非负的，所以Ja
8、f(x)
9、dx表示在区间［a,b］上所有以
10、f(x)l为曲边的正曲边梯形的面(如图(2))；而1Jaf(x)dx1则是［f(x)dX的绝对值，三者的值一般是不相同的.⑴⑵知识点2：定积分的基本性质假设函数在所讨论的区间上都是可积的。性质1：常数因子可能提到积分号前，即fkf(x)dx=kIf(x)dxJaJa这是由于，(k为常数)•bkf(x)andx=limVkf(£)Ax△xt()厶1i=in=klim，f(&)Ax△xtO11i=lfb=kf(x)dx性质2：代数和积分等于积分的代数和，即fb［f(x)±
11、g(x)]dx=jf(x)dx土[g(x)dx因为jff(x)±g(x)]dx=(§i)士g「Xi=1二処£f纠±耙。左<)Axi=li=l=［f(x)dx±jg(x)dx这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况。性质3：(定积分的可加性)如果积分区I'可［a,b］被点c分成两个小区间［a,c］与［c,b］,则f(x)dxfb(x)dx+jf(x)dx知识点3：微积分基本定理微积分基本公式使我们得到了求定积分的一般方法(简单方法)，不需要根据定义求和式的极限，只要求出被积函数的任一原函数，再计算原函数在积分区间上的改变量即可.关键是要找到
12、被积函数的一个原函数.微积分基本定理如果F'(x)=f(x),且f(x)在［a,b］上可积，则丄仏止訥1))-F(a),其中尸⑴叫做f(x)的一个原函数。即ff(x)dx=F(x)
13、b=F(b)-F(a)【典型例题】例1.求由直线x=O,x=l,y=°和直线y=x(x—1)围成的图形面积解析：(1)分割丄2…n—l将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点匚…’—厂把区间［0,1］等分成n个小区间：［0,丄］,［丄，-］,・・・［―,丄］,…［口，-］nnnnnnn,［~,丄］(i=l,2,…，n)简写作nn。Ax=i_izl=l每个小区间的长度为n
14、nn。过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作，ASj,AS2,・・•△S“…，ASno(2)近似代替用小
