2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理 Word版含解析.pdf

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1、定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区nnb－a间上任取一点ξ(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξ)Δx＝f(ξ)，当n→∞时，iinii1i1上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作banb－af(x)dx，即bf(x)dx＝limf(ξ).nini1a在bf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区

2、间，函数f(x)a叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)bf(x)dx的几何意义a表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面f(x)≥0积表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面f(x)＜0积的相反数f(x)在[a，b]上有正表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的有负面积2．定积分的性质(1)bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k为常数).aa(2)b[f(x)±f(x)]dx＝bf(x

3、)dx±bf(x)dx.1212aaa(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中a＜c＜b).aac3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)a－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为bbF(x)，即bf(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).aaa【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)π(cosx＋1)dx＝________.

4、0(2)2

5、x2－2x

6、dx＝________.－2(3)1(2x＋1－x2)dx＝________.0π[答案](1)π(2)8(3)1＋4π[解析](1)π(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)＝π.00(2)2

7、x2－2x

8、dx＝0(x2－2x)dx＋2(2x－x2)dx－2－20101288＝x3－x2＋x2－x3＝＋4＋4－＝8.3－230331(3)11－x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，40π∴11－x2dx＝.401又∵

9、12xdx＝x2＝1，00∴1(2x＋1－x2)dx＝12xdx＋11－x2dx000π＝1＋.4【类题通法】1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算.2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.【对点训练】1．定积分1(x2＋sinx)dx＝________.－12

10、[答案]3[解析]1(x2＋sinx)dx＝1x2dx＋1sinxdx－1－1－1x32＝21x2dx＝2·

11、1＝.30302．1e

12、x

13、dx的值为()－1A．2B．2eC．2e－2D．2e＋2[答案]C01[解析]1e

14、x

15、dx＝0e－xdx＋1exdx＝－e－x＋ex＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e-10－1－10＋e－1＝2e－2，故选C.3．定积分39－x2dx的值为________.09π[答案]4[解析]由定积分的几何意义知，39－x2dx是由曲线y＝9

16、－x2，直线x＝0，x＝3，y0π·329π＝0围成的封闭图形的面积.故39－x2dx＝＝.440考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________.(2)由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________.4(3)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.32π[答案](1)23－(2)18(3)231π5π[解析](1)令2sinx＝1，得sinx＝，当x∈[0，π]时，

17、得x＝或x＝，所以所2662π求面积S＝(2sinx－1)dx＝(－2cosx－x)＝23－.3y2＝2x，(2)如图所示，解方程组得两交点为(2，－2)，(8，4).y＝x－4，法一选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，