2019高考数学考点突破__导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理学案

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1、定积分与微积分基本定理【考点梳理】1.定积分的概念与儿何意义(1)定积分的定义如果函数在区间［日，刃上连续，用分点将区间［日，刃等分成"个小区间，在每个小区”Nh—a间上任取一点

2、(x)dx叫做被积式.⑵±£（x）］dxf办（x）方（x）dx.33（3）JV3心=jyu）山+d*其屮a

3、d),那么j7U)dx=F(b)二•这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式•可以把仙一“记为Kx)dx=F(x))=尸©)—尸(日).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)r(cosx+l)dx=o［答案］⑴兀(2)8(3)1+y=1+T【类题通法】1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:(1)对被枳函数要先化简，再求枳分；(1)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和;(2)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在対称区间上的定积分性质简化运算.1.运用定积

4、分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.【对点训练】1.定积分『(,+sinx)dx=.丿-12[答案]3［解析］i=l2."訂山的值为(-1A.2B.2eC.2e-2D.2o+2［答案］C［解析］1e1Adr1e'vdx+f'evd^=-i0+evi=[—e°—(—e)]+(e—e°)=—1+e0+e-l=2e-2,故选C.1.定积分p9—Pd%的值为丿0［答案］—［解析］rh定积分的几何意义知,9ny=y/9—x,直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积.［考点二、运用定积分求平面图

5、形的面积【例2】(1)曲线y=2sin北(OW/WE与直线1围成的封闭图形的面积为⑵由抛物线/=与直线y=x~A围成的平面图形的面积为.4⑶已知曲线/=/与直线y=^(Q0)所围成的曲边图形的面积为丁则k=.［答案］⑴2羽一¥⑵18(3)2［解析］⑴令2sin尸1,得sin厲，当圧［0,叮时，得汁十或汁牛所以所广5代V求面积s=J2L6(2sinx—l)dx=(―2cosx—x)5k石6(1)如图所示，解方程组y~2X得两交点为(2,-2),(8,4).尸x—4,法一选取横坐标/为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两

6、部分面积之和,即S=2(―x+4)dx=l&法二选取纵坐标y为积分变量，则图屮阴影部分的面积3=⑶由2y=x,,得[y=kx9x=k,则曲线与直线y=kx(k〉O)所围成的曲边梯形的y=Ky面积为^k{kx—x)(x=4=§,则护=8,:.k=2.【类题通法】1.利用定积分求曲线I韦I成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平血图形的血积.2.注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开:定积分是一个数值(极限值)

7、，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.【对点训练】1.由直线x=—,%=—,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）1-2A.52［答案］D［解析］由题意知封闭图形的面积s=Jnn91.曲线尸=-与直线y=Ll及X=4所围成的封闭图形的面积为（）ATA.21n2B.2—In2C.4-ln2D.4-21n2［答案］D9［解析］由曲线y=-与直线尸x—1联立，解得^=—1（舍去），x=2,作出曲线『=X直线y=x—1的图象如图所示,故所求图形的血积为S=「（x-1-另山=#-2InxJ2-2

8、1n2.1.设日＞0,若曲线尸=草-与直线x=a,y=0所圉成封闭图形的面积为a＞则日=4［答案］f［解析］封闭图形如图所示，贝IJ2■4=尹—0=/,解得考点三、定积分在物理中的应用【例3］(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度r(f)=7-3t+壬&的单位：s,