2019年高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理讲义（含解析）湘教版

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1、4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y＝f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形，叫作函数y＝f(x)在区间[a，b]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲．3．定积分的概念设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn＝b.记小区间[xk－1，xk]为Δk，其长度xk

2、－xk－1记作Δxk，Δxk中最大的记作d，再在每个小区间Δk上任取一点代表点zk，作和式：(zk)Δxk.　①如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式①以S为极限，就说函数f(x)在[a，b]上可积，并且说S是f(x)在[a，b]上的定积分，记作S＝f(x)dx.4．微积分基本定理如果f(x)是在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可导并且F′(x)＝f(x)，则f(t)dt＝F(b)－F(a)．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样

3、才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函

4、数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.4．如图所示，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分f(x)dx的值？提示：f(x)dx＝S1－S2＋S3.利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)(4x－x2)dx;(2)(x－1)5dx；(3)(t＋2)dx;(4)dx.[自主解答]　(1)取F(x)＝2x2－，因为F′(x)＝4x－x2，所以(4x－x2)dx＝F(3)－F(－1)＝－＝.(2)因为′＝(x－1)5，所以(x－1)5dx＝F(2)－F

5、(1)＝×(2－1)6－×(1－1)6＝.(3)取F(x)＝(t＋2)x，因为F′(x)＝t＋2，所以(t＋2)dx＝F(2)－F(1)＝2(t＋2)－(t＋2)＝t＋2.(4)f(x)＝＝－，取F(x)＝lnx－ln(x＋1)＝ln，则F′(x)＝－.所以dx＝dx＝F(2)－F(1)＝ln.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值

6、号再求积分；(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)(3x2－2x＋1)dx；　(2)dx；(3)(sinx－cosx)dx；　(4)

7、1－x

8、dx.解：(1)取F(x)＝x3－x2＋x，则F′(x)＝3x2－2x＋1.∴(3x2－2x＋1)dx＝F(3)－F(－1)＝24.(2)取F(x)＝x2－lnx，则F′(x)＝x－.∴dx＝F(2)－F(1)＝－ln2.(3)取F(x)＝－cosx－sinx，则F′(x)＝sinx－cosx.∴(sinx－cosx)d

9、x＝F(π)－F(0)＝2.(4)∵

10、1－x

11、＝∴取F1(x)＝x－x2,0＜x＜1，F2(x)＝x2－x,1＜x＜2，则F1′(x)＝1－x，F2′(x)＝x－1.∴

12、1－x

13、dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝1.利用定积分求参数已知函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．[自主解答]　因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，取F(x)＝x3＋cx，则F′(x)＝ax2＋c，所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝F(1)－F(0)＝

14、＋c＝ax＋c.解得x0＝或x0＝－(舍去)．即x0＝.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，取F1(x)＝ax2＋bx，∴F1′(x)＝f(x)．则(ax＋b)dx＝F1(1)－F1(0)＝a＋b，x(ax＋b)dx