2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.1 导数概念 Word版含解析.pdf

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1、4．1导数概念[读教材·填要点]1．物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，ft＋d－ftd)＝在d趋于0时的极限．d2．函数y＝f(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数y＝f(x)的曲线上任一点P(u，f(u))处的切线的斜率k(u)，就是过P(u，f(u))，Q(ufu＋d－fu＋d，f(u＋d))两点割线PQ的斜率k(u，d)＝在d趋于0时的极限．d3．导数的概念(1)函数y＝f(x)在点x＝x处的导数：0fx＋d－fx设函数y＝f(x)在包

2、含x的某个区间上有定义，如果比值00在d趋于0时0d(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x处的导数或微商，记作f′(x)，00fx＋d－fx简述为：00→f′(x)(d→0)．d0(2)导函数：当x为f(x)的定义区间中的任意一点，即为x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导0函数或一阶导数，若f′(x)在x处又可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)，类似地，可以定义三阶导数fx)等等．[小问题·大思维]1．若函数f(x)在[x，x]内差商为0，能否说明函数f(x)没有变化？12提示：不能

3、说明．理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长d取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的差商为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增．2.函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x)，f′(x)和f′(x)的大小吗？123提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且k>k，AB在C处的切线斜率小于零，所以f′(x)>f′(x)>f′(x)．1233．f′(x)与f′(x)的区别是什么？0提示

4、：f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，d无关；f′(x)表示的是函数f(x)在x＝x处的导数，是000对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x的位置有关，而与d无关．0求函数在某一点处的导数求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[自主解答]法一：f(3＋d)－f(3)＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3)＝12d＋2d2＋4d＝2d2＋16d，f3＋d－f32d2＋16d∴＝＝2d＋16.dd∴d→0时，f′(3)＝16.2x＋d

5、2＋4x＋d－2x2＋4x4x·d＋2d2＋4d法二：＝dd＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，即f′(x)＝4x＋4，∴f′(3)＝4×3＋4＝16.在本例中，若函数在x＝x处的导数是8，求x的值．00解：根据导数的定义，fx＋d－fx2x＋d2＋4x＋d－2x2＋4x＝dd4xd＋2d2＋4d＝d＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，∴f′(x)＝4x＋4.令f′(x)＝4x＋4＝8，00解得x＝1.0根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x处的导数的步骤0(1)求函数的差分f(x＋d)－f(x)；00f

6、x＋d－fx(2)求差商00；d(3)取极限，d→0得导数f′(x)．011．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．x11d解：f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)－－1－＝d＋，1＋d11＋ddd＋f1＋d－f11＋d1＝＝1＋，dd1＋d∴d→0时，f′(1)＝1＋1＝2.求瞬时速度一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．[自主解答]根据导数的定义，f2＋d－f232＋d－3×2＝＝3，dd∴f′

7、(2)＝3.f′(2)的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；(2)求时间改变量d，位移改变量Δs＝s(t＋d)－s(t)；00Δs(3)求平均速度；dΔs(4)求瞬时速度，v＝lim.dd→02．一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m.)．解：设这辆车在t＝2附近的时间步长为d，则位移的差分[2(2＋d)2＋3]－(2×22＋3)＝8d＋2d2，差商＝8＋2d

8、→f′(2)＝8(d→0)．所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8m/s.确定或应用曲线的切线方程抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及