资源描述：
《空间直线及其方程.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六节空间直线及其方程StraightLineinSpaceandEquation教学目的:理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两直线的位置关系,并会建立直线方程.课题:直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的条件.教学重点:空间直线的图形及其方程教学难点:空间直线方程的求解教学方法:精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程教学内容:一、直线的标准方程如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量.设直线过空间一点,且有方向向量,求此直线的方程.在直线上任取一点,则向量,且
2、,则有(1)(1)即为直线的方程,称为直线的标准方程或对称方程,叫做直线的方向数.【例1】求过点,且垂直于平面的直线方程.解已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即由式(1)可得直线方程为【例2】设直线经过两点,求其方程.解取为直线的方向向量,并选直线上一点,由式(1)得直线方程为即注1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行;2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的;3.在直线的标准方程中,方向数可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零.由例2知,过点的直线方程为称此方程为直线的两点式方程.
3、二、直线的参数方程令直线的标准方程,则有(为参数)(2)方程(2)称为直线的参数方程.显然直线上任一点都对应唯一确定的值.反之,每取定一个值,都得到一个确定的点.直线的标准方程可化为参数方程.反之,由直线的参数方程消去参数,即得标准方程.三、直线的一般方程空间直线可以看作是过该直线的两个不重合的平面和的交线.如果平面的方程为,的方程为,那么直线上的任一点,既在平面上,又在平面上,因此直线上的任一点的坐标都满足方程组(3)反之,不在直线上的点,不能同时在平面和上.即不在直线上的点,不满足方程组(3),方程组(3),是直线的方程,称方程组(3)为直线的一般方程,其中与
4、不成比例.由于过直线的平面有无穷多个,可以任取两个,将其联立,便得直线的一般方程.因此,直线的一般方程不是唯一的.【例3】将直线的一般方程化为标准方程.解首先,求此直线上一个点的坐标,为此先选定该点的一个坐标,例如,设,代入原方程组,得解之,得.于是得该直线上一定点.其次,确定直线的一个方向向量.由于直线在两个平面上,所以与两个平面的法向量都垂直.因此可以选取为直线的方向向量:于是得直线的标准方程为四、两直线的夹角，平行与垂直的条件两直线和的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两条直线的夹角,通常记为.设和的方程分别为它们的方向向量分别为.故它们的夹角若不大于,则;若
5、大于,则,故和的夹角的余弦为由此得两直线和平行的充要条件是两直线和垂直的充要条件是【例4】一直线通过点,且与平面的交线平行,求该直线的方程.解由于所求直线与两平面的交线平行,故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方向向量.即故所求直线方程为即【例5】试判定下列直线和平面的位置关系.(1)和;(2)和.解(1)直线的方向向量,平面的法向量,显然,故,所以,直线与平面垂直.(2)直线的方向向量,平面的法向量,显然,,故,所以,直线与平面平行.课堂练习:1.将直线方程化为参数方程.2.写出各坐标轴的一般方程.小结:学习了直线的三种方程,两直线的夹角、平行与垂直的条件.要
6、求理解空间直线的概念，熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程，会判断两直线的位置关系，并会建立直线方程。作业:P148-3,5.
