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时间:2020-08-18
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1、5-1定积分的概念、几何意义、性质5-4定积分的换元积分法和分部积分法5-2变限积分函数5-3牛顿—莱布尼兹公式目录5-5广义积分与瑕积分第五章定积分及其应用5-6定积分的几何应用5.1定积分的概念、几何意义、性质一、引入实例二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的几何意义一、引入实例1.曲边梯形的面积abxyo(四个小矩形)abxyo(九个小矩形)显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.用矩形面积近似取代曲边梯形面积一、引入实例1.曲边梯形的面积解决步骤:(1)分割用分点把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的长度记为,即一、引入实例1
2、.曲边梯形的面积(2)近似代替在第i个小区间上任取一点用以为宽,为高的小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积,即一、引入实例1.曲边梯形的面积(3)求和(4)取极限令,则一、引入实例2.变速直线运动的路程且设某物体作变速直线运动,已知速度如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程??一、引入实例2.变速直线运动的路程解决步骤:(1)分割用分点把时间区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的长度记为一、引入实例2.变速直线运动的路程(2)近似代替(3)求和(4)取极限,则令二、定积分的概念设函数在区间上有定义,在中插入 个分点,把区间分成个小区间每个小区间的长度
3、依次为1、定积分的定义在每个小区间 上任取一点 ,作函数值 与小区间长度 的乘积,并作和式(称为积分和式)记,如果当 时,和式的极限存在,则称这个极限值为函数 在 上的定积分(简称积分),记作 ,即可积积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和例:用定义计算定积分的值与区间的分法以及点的取法无关;定积分只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即有规定2、定积分的说明3、定积分的存在定理三、定积分的几何意义(1)定积分的值等于曲边梯形面积;(2)定积分的值等于曲边梯形面积的负值;三、定积分的几何意义有时为正,有时
4、为负时.(3)定积分的值等于各部分面积的代数和.例:利用定积分的几何意义计算例:求曲线y=sinx和x轴在区间[0,]上所围成面积。性质1性质2四、定积分的性质性质3性质4(k为常数)性质5设在上连续,则:(1)若在上为偶函数,则(2)若在上为奇函数,则性质6利用这个结果,奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到简化,甚至不经计算即可得到结果.例:计算定积分 .例:计算定积分 .例:计算定积分 .性质7(积分区间可加性)不论 位置如何,上式均成立.性质8在区间上推论1在区间上推论2在区间上例:不计算定积分的值,比较下列定积分大小.1
5、.比较定积分 与 的大小.2.比较定积分 的大小.性质8如果分别是和最小值和最大值,则上在区间性质9(积分中值定理)如果函数在闭区间上连续,则在区间上存在一点使得通常我们称为函数在上的平均值。
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